Matemática · Geometria plana

Uma partícula em movimento descreve sua trajetória sobre semicircunferências traçadas a partir de um ponto $P_0$, localizado em uma reta horizontal $r$, com deslocamento sempre no sentido horário. A figura mostra a trajetória da partícula, até o ponto $P_3$, em $r$. Na figura, O, $O_1$ e $O_2$ são os centros das três primeiras semicircunferências traçadas e $R$, $\dfrac{R}{2}$ e $\dfrac{R}{4}$ seus respectivos raios.

A trajetória resultante do movimento da partícula será obtida repetindo-se esse comportamento indefinidamente, sendo o centro e o raio da n-ésima semicircunferência dados por $O_n$ e $R_n=\dfrac{R}{2^n}$, respectivamente, até o ponto $P_n$, também em $r$. Nessas condições, o comprimento da trajetória descrita pela partícula, em função do raio R, quando n tender ao infinito, será igual a