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Data: ___/___/______

Fuvest 2011 · Primeira fase · Objetiva

Matemática · Trigonometria, Identidades trigonométricas, Adição e subtração de arcos, Sistemas de equações

Sejam xx e yy números reais positivos tais que x+y=π2x+y=\dfrac\pi2. Sabendo-se que sen⁡(x−y)=13\sen(x-y)=\dfrac13, o valor dc tg⁡2x−tg⁡2y\operatorname{tg}^2x-\operatorname{tg}^2y é igual a

  1. 32\dfrac32
  2. 54\dfrac54
  3. 12\dfrac12
  4. 14\dfrac14
  5. 18\dfrac18

Rascunho

Gabarito

Alternativa A.

Soluções de alguns exercícios selecionados

Observe que foi dado que x+y=π2x+y=\dfrac\pi2, ou seja, os ângulos xx e yy são complementares o que implica nas igualdades:

sen⁡x=cos⁡y e cos⁡x=sen⁡y.\sen x=\cos y\text{ e }\cos x=\sen y.

O outro dado foi sen⁡(x−y)=13\sen(x-y)=\dfrac13, e usando a diferença de arcos para o seno, obtemos:

sen⁡(x−y)=13sen⁡xcos⁡y−sen⁡ycos⁡x=13sen⁡2x−cos⁡2x=13.\begin{aligned} \sen(x-y)&=\frac13\\ \sen x\cos y-\sen y\cos x&=\frac13\\ \sen^2x-\cos^2x&=\frac13. \end{aligned}

Além dessa equação, ainda dispomos da equação fundamental sen⁡2x+cos⁡2x=1\sen^2x+\cos^2x=1, e portanto temos o sistema:

{sen⁡2x+cos⁡2x=1sen⁡2x−cos⁡2x=13\begin{cases} \sen^2x+\cos^2x=1\\ \sen^2x-\cos^2x=\dfrac13 \end{cases}

De onde obtemos sen⁡2x=23\sen^2x=\dfrac23 e cos⁡2x=13\cos^2x=\dfrac13, e assim:

tg⁡2x=sen⁡2xcos⁡2x=21=2 e tg⁡2y=12.\operatorname{tg}^2x=\frac{\sen^2x}{\cos^2x}=\frac21=2\text{ e }\operatorname{tg}^2y=\frac12.

Portanto tg⁡2x−tg⁡2y=2−12=32\operatorname{tg}^2x-\operatorname{tg}^2y=2-\dfrac12=\dfrac32

Gabarito conforme a coletânea de origem (Grupo Exatas).