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Data: ___/___/______

Fuvest 2012 · Primeira fase · Objetiva

Matemática · Trigonometria, Identidades trigonométricas, Equações logarítmicas, Adição e subtração de arcos

O número real x, com 0<x<π0<x<\pi satisfaz a equação

log⁡3(1−cos⁡x)+log⁡3(1+cos⁡x)=−2.\log_3(1-\cos x)+\log_3(1+\cos x)=-2.

Então, cos⁡2x+sen⁡x\cos2x+\sen x vale?

  1. 13\dfrac13
  2. 23\dfrac23
  3. 79\dfrac79
  4. 89\dfrac89
  5. 109\dfrac{10}{9}

Rascunho

Gabarito

Alternativa C.

Soluções de alguns exercícios selecionados

Trabalhando inicialmente o logaritmo:

log⁡3(1−cos⁡x)+log⁡3(1+cos⁡x)=−2log⁡3[(1−cos⁡x)(1+cos⁡x)]=−2log⁡3(1−cos⁡2x)=−2log⁡3(sen⁡2x)=−2sen⁡2x=3−2sen⁡2x=19\begin{aligned} \log_3(1-\cos x)+\log_3(1+\cos x)&=-2\\ \log_3[(1-\cos x)(1+\cos x)]&=-2\\ \log_3(1-\cos^2x)&=-2\\ \log_3(\sen^2x)&=-2\\ \sen^2x&=3^{-2}\\ \sen^2x&=\frac19 \end{aligned}

Utilizando a identidade fundamental obtemos cos⁡2x=89\cos^2x=\dfrac89. Observe ainda que xx encontra-se em um dos dois primeiros quadrantes (dado no enunciado), e assim sen⁡x=13\sen x=\dfrac13. Agora utilizando a soma de arcos para o cosseno obtemos cos⁡2x=cos⁡2x−sen⁡2x=89−19=79\cos2x=\cos^2x-\sen^2x=\dfrac89-\dfrac19=\dfrac79. Por fim:

cos⁡2x+sen⁡x=79+13=109.\cos2x+\sen x=\frac79+\frac13=\frac{10}{9}.

Portanto letra E.

Gabarito conforme a coletânea de origem (Grupo Exatas).