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Fuvest 2018 · Segunda fase · Questão 2 · Discursiva

Matemática · Equações trigonométricas, Composição de funções, Função inversa

Considere as funções f:[−π2,π2]→[−1,1]f:\left [ -\frac{\pi }{2}, \frac{\pi }{2}\right ]\rightarrow \left [ -1,1 \right ] e g:[0,π]→[−1,1]g:\left [0,\pi \right ]\rightarrow \left [ -1,1 \right ] definidas por f(x) = senx e g(x) = cosx. Sendo f e g bijetoras, existem funções f-1 e g-1 tais que f-1 ∘\circ f = f ∘\circ f-1 = id e g-1 ∘\circ g = g ∘\circ g-1 = id, em que id é a função identidade.

  1. Para 0≤α≤10 \leq \alpha \leq 1, mostre que (g∘f−1)(α)=1−α2\left ( g \circ f^{-1} \right )(\alpha )=\sqrt{1-\alpha ^{2}}.
  2. Mostre que f−1(12)+g−1(6+24)=π4f^{-1}\left ( \frac{1}{2} \right )+g^{-1}\left ( \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \right )=\frac{\pi }{4}.

Resposta