← Voltar à questão
O que incluir na folha
JR Questõesjrquestoes.com.br

Nome:

Turma:

Escola / professor(a):

Data: ___/___/______

Fuvest 2002 · Primeira fase · Objetiva

Matemática · Trigonometria, Identidades trigonométricas, Equações trigonométricas

Se α\alpha está no intervalo [0,π2]\left[0,\dfrac\pi2\right] e satisfaz sen⁡4α−cos⁡4α=14\sen^4\alpha-\cos^4\alpha=\dfrac14, então o valor da tangente de α\alpha é:

  1. 35\sqrt{\dfrac35}
  2. 53\sqrt{\dfrac53}
  3. 37\sqrt{\dfrac37}
  4. 73\sqrt{\dfrac73}
  5. 57\sqrt{\dfrac57}

Rascunho

Gabarito

Alternativa B.

Soluções de alguns exercícios selecionados

Como dado no enunciado:

sen⁡4x−cos⁡4x=14(sen⁡2x−cos⁡2x)(sen⁡2x+cos⁡2x)=14\begin{aligned} \sen^4x-\cos^4x&=\frac14\\ (\sen^2x-\cos^2x)(\sen^2x+\cos^2x)&=\frac14 \end{aligned}

Usando a identidade fundamental, sen⁡2x+cos⁡2x=1\sen^2x+\cos^2x=1, obtemos;

sen⁡2x−cos⁡2x=14.\sen^2x-\cos^2x=\frac14.

Novamente utilizando a identidade fundamental, obtemos o seguinte sistema:

{sen⁡2x+cos⁡2x=1sen⁡2x−cos⁡2x=14\begin{cases} \sen^2x+\cos^2x=1\\ \sen^2x-\cos^2x=\dfrac14 \end{cases}

Resolvendo o sistema obtemos sen⁡2x=58\sen^2x=\dfrac58 e cos⁡2x=38\cos^2x=\dfrac38. Como foi dado que xx pertence ao primeiro quadrante, então sen⁡x=58\sen x=\dfrac{\sqrt5}{\sqrt8} e cos⁡x=38\cos x=\dfrac{\sqrt3}{\sqrt8}. Daí:

tg⁡x=sen⁡xcos⁡x=5838=53=53\operatorname{tg}x=\frac{\sen x}{\cos x}=\frac{\dfrac{\sqrt5}{\sqrt8}}{\dfrac{\sqrt3}{\sqrt8}}=\frac{\sqrt5}{\sqrt3}=\sqrt{\frac53}

Letra B.

Gabarito conforme a coletânea de origem (Grupo Exatas).