Se α está no intervalo [0,dfracπ2] e satisfaz sen4α-cos4α=dfrac14, então o valor da tangente de α é:

Fuvest 2002 – Matemática: Trigonometria – “Se α está no intervalo [0,dfracπ2] e satisfaz…”

Se $\alpha$ está no intervalo $\left[0,\dfrac\pi2\right]$ e satisfaz $\sen^4\alpha-\cos^4\alpha=\dfrac14$ , então o valor da tangente de $\alpha$ é:

$\sqrt{\dfrac35}$
$\sqrt{\dfrac53}$
$\sqrt{\dfrac37}$
$\sqrt{\dfrac73}$
$\sqrt{\dfrac57}$

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Alternativa B.

Soluções de alguns exercícios selecionados

Como dado no enunciado:

\begin{aligned} \sen^4x-\cos^4x&=\frac14\\ (\sen^2x-\cos^2x)(\sen^2x+\cos^2x)&=\frac14 \end{aligned}

Usando a identidade fundamental, $\sen^2x+\cos^2x=1$ , obtemos;

\sen^2x-\cos^2x=\frac14.

Novamente utilizando a identidade fundamental, obtemos o seguinte sistema:

\begin{cases} \sen^2x+\cos^2x=1\\ \sen^2x-\cos^2x=\dfrac14 \end{cases}

Resolvendo o sistema obtemos $\sen^2x=\dfrac58$ e $\cos^2x=\dfrac38$ . Como foi dado que $x$ pertence ao primeiro quadrante, então $\sen x=\dfrac{\sqrt5}{\sqrt8}$ e $\cos x=\dfrac{\sqrt3}{\sqrt8}$ . Daí:

\operatorname{tg}x=\frac{\sen x}{\cos x}=\frac{\dfrac{\sqrt5}{\sqrt8}}{\dfrac{\sqrt3}{\sqrt8}}=\frac{\sqrt5}{\sqrt3}=\sqrt{\frac53}

Letra B.

Gabarito conforme a coletânea de origem (Grupo Exatas).

Matemática · Trigonometria, Identidades trigonométricas, Equações trigonométricas

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