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Fuvest 2019 · Segunda fase · Questão 5 · Discursiva

Matemática · Adição e subtração de arcos, Tangência, Lei dos cossenos, Lei dos senos, Trigonometria no triângulo retângulo

Conforme se vê na figura, em um plano, encontram - se:

- duas retas perpendiculares r e s e o ponto O de intersecção dessas duas retas; ]

- um ponto  Q∈sQ\in s   tal que a medida de OQ‾\overline{OQ} é 5;

- uma circunferência c, centrada em Q, de raio 1;

- um ponto P∈cP\in c tal que o segmento OP‾\overline{OP} intersecta c apenas em P.

Denotam-se  Θ=QO^P\Theta = Q\widehat{O}P  e  β=OQ^P\beta = O\widehat{Q}P.

  1. Calcule senΘsen \Theta, no caso em que Θ\Theta assume o máximo valor possível na descrição acima.

  2. Calcule senΘsen \Theta, no caso em que  β=60\beta =60

    Ainda na figura, encontram-se:

    - a reta  contendo Q e P;

    - a semirreta u partindo de P e contendo O;

    - a semirreta w partindo de P para fora de c de modo que u e w estão em semiplanos distintos relativos a t.

    Supõe-se que os ângulos formados por u e t, e por w e t sejam iguais a um certo valor a, com     0≤a≤900\leq a\leq 90. Caso w intersecte

    r (como é o caso da figura), denotam- se R  como esse único ponto de intersecção e γ=OR^P.\gamma = O\widehat{R}P.

  3. Determine a medida de  OR‾\overline{OR} , no caso em que α=45\alpha=45

Resposta