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Fuvest 2018 · Segunda fase · Questão 4 · Discursiva

Matemática · Sequências

Considere a sequência a1 = 6, a2 = 4, a3 = 1, a4 = 2, e an = an-4, para n≥5n\geq 5. Defina Snk=an+an+1+...+an+kS_{n}^{k}=a_{n}+a_{n+1}+...+a_{n+k} para k≥0k\geq 0, isto é, SnkS_{n}^{k} é a soma de k + 1 termos consecutivos da sequência começando do n-ésimo, por exemplo, S21=4+1=5S_{2}^{1}=4+1=5.

  1. Encontre n e k tal que Snk=20S_{n}^{k}=20.
  2. Para cada inteiro j, 1≤j≤121\leq j\leq 12, encontre n e k tal que Snk=jS_{n}^{k}=j.
  3. Mostre que, para qualquer inteiro j, j≥1j\geq 1, existem inteiros n≥1n\geq 1 e k≥0k\geq 0 tais que Snk=jS_{n}^{k}=j.

Resposta