Imprimir: Fuvest 2019 – Questão 6 – Matemática: Matrizes

A multiplicação de matrizes permite codificar mensagens. Para tanto, cria-se uma numeração das letras do alfabeto, como na tabela abaixo. (O símbolo * corresponde a um espaço).

Imagem incorporada pela fonte (Kuadro) sem texto alternativo; conteúdo a descrever na revisão.

Como exemplo, suponha que a mensagem a ser transferida seja FUVEST, e que as matrizes codificadora e decodificadora sejam

$A=\bigl(\begin{smallmatrix} 3 &2 \\ 1& 1 \end{smallmatrix}\bigr)$ e $B=\bigl(\begin{smallmatrix} 1 &-2 \\ -1& 3 \end{smallmatrix}\bigr)$ , respectivamente. A matriz em que se escreve a mensagem é $M=\bigl(\begin{smallmatrix} F & U & V\\ E & S & T \end{smallmatrix}\bigr)$ , que, numericamente corresponde a $M=\bigl(\begin{smallmatrix} 6 & 21 & 22\\ 5 & 19 & 20 \end{smallmatrix}\bigr).$

Para fazer a codificação da mensagem, é feito o produto de matrizes $N=A\cdot M=\bigl(\begin{smallmatrix} 3 &2 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\bigr)\bigl(\begin{smallmatrix} 6 & 21 & 22\\ 5 & 19 & 20 \end{smallmatrix}\bigr) = \bigl(\begin{smallmatrix} 28 & 101 & 106\\ 11 & 40 & 42 \end{smallmatrix}\bigr)$ .

Se a matriz codificadora é $A=\bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{smallmatrix}\bigr)$ e a mensagem a ser transmitida é ESCOLA, qual é a mensagem codificada que o destinatário recebe?
Se a matriz codificadora é $A=\bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{smallmatrix}\bigr)$ e o destinatário recebe a matriz codificada $N = \bigl(\begin{smallmatrix} 33 & 9 & 8 & 48\\\\ 47 & 13 & 9 & 75 \end{smallmatrix}\bigr)$ , qual foi a mensagem enviada ?
Nem toda matriz A é uma matriz eficaz para enviar mensagens. Por exemplo, se $A=\bigl(\begin{smallmatrix} 2 &-7 \\\\ 4& -14 \end{smallmatrix}\bigr)$ , encontre 4 sequências de 4 letras de forma que as respectivas matrizes codificadas sejam sempre iguais a $\bigl(\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\bigr)$

Matemática · Matrizes, Matriz inversa, Operações com matrizes, Sistemas lineares