Fuvest 2017 · Segunda fase · Questão 2 · Discursiva

Matemática · Circunferências, Trigonometria no triângulo retângulo

O centro de um disco de raio 1 é colocado no ponto C = (0,1) do plano cartesiano 0xy. Uma das extremidades de um fio de espessura desprezível e comprimento 3 é fixada na origem 0 e a outra extremidade está inicialmente no ponto (3,0). Mantendo o fio sempre esticado e com mesmo comprimento, enrola-se, no sentido anti-horário, parte dele em torno do disco, de modo que a parte enrolada do fio seja um arco OP da circunferência que delimita o disco. A medida do ângulo OCP^\widehat{OCP} , em radianos, é denotada por θ\theta. A parte não enrolada do fio é um segmento retilíneo PQ‾\overline{PQ} que tangencia o disco no ponto P.

A figura da página de respostas ilustra a situação descrita.

  1. Determine as coordenadas do ponto Q quando o segmento PQ‾\overline{PQ} for paralelo ao eixo y.
  2. Determine as coordenadas do ponto Q quando o segmento PQ‾\overline{PQ} for paralelo à reta de equação y = x.
  3. Encontre uma expressão para as coordenadas do ponto Q em função de θ\theta, para θ\theta no intervalo [0,π2]\left [ 0, \frac{\pi}{2} \right ].

Questão discursiva: a fonte não traz resolução.

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