Teoria elementar dos conjuntos

Qualquer pessoa que tenha organizado, agrupado objetos ou qualquer outro tipo de elementos ou reunido indivíduos de acordo com uma característica colocou em prática a noção de conjunto. Embora aparentemente vagos, os conceitos de conjunto e elemento permitem uma análise lógica de informações numéricas ou não bastante precisa.

A teoria de conjuntos, desenvolvida em boa parte do que conhecemos hoje por Georg Cantor (1845-1918), serve de base para a formalização de muitos assuntos da Matemática. Ela apresenta linguagem simples, que facilita a comunicação e a compreensão de conceitos mais complexos. Por meio de operações como união, interseção e complemento entre conjuntos, podemos criar uma lógica matemática que nos leva aos mais avançados sistemas de tecnologia.

Conjunto e elemento

O conceito de conjunto é intuitivo ou primitivo. Isso quer dizer que não há uma maneira formal de defini-lo. Você pode usar sinônimos como grupo, coleção ou agrupamento, sempre lembrando que os elementos pertencentes a um conjunto terão alguma propriedade ou característica em comum que os conecta como grupo. Por essa característica, podemos verificar se um elemento pertence ou não ao conjunto.

Vejamos a seguir as representações, as operações e as ideias que envolvem conjuntos, um assunto básico, porém importante para a Matemática.

Representações de conjuntos

Existem várias maneiras de representar um conjunto. Podemos enumerar cada um de seus elementos se não forem muitos ou até mesmo apresentar uma lógica clara, se forem infinitos. Outra possibilidade é apresentar uma propriedade que caracterize todos os seus elementos. Também podemos definir uma região que limita um conjunto em um diagrama. Vamos detalhar cada uma dessas representações.

Enumeração de elementos

De modo geral, um conjunto é representado por uma letra maiúscula, com seus elementos entre chaves e separados por vírgula; se for necessário, por ponto e vírgula, caso haja números decimais.

Exemplos:

Propriedades de elementos

Pode ser mais simples mencionarmos a propriedade dos elementos do conjunto que citar cada um deles.

Exemplos:

A: Conjunto dos números primos positivos menores do que 100

$A = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97\}$.

B: Conjunto dos estados da região Sudeste

$B = \{$São Paulo, Minas Gerais, Rio de Janeiro, Espírito Santo$\}$.

Também podemos utilizar o nome de conjuntos numéricos (naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais, complexos) ou intervalos de valores para representar um conjunto.

Diagramas de elementos

Também conhecidos como diagramas de Euler-Venn, os diagramas de elementos são regiões limitadas nas quais se apresentam os elementos de um conjunto. O conjunto $A = \{1, 2, 3, 4\}$, por exemplo, pode ser representado por:

Esses diagramas são muito úteis para mostrar visualmente a relação entre conjuntos.

Conjuntos especiais

Conjunto vazio

Um conjunto sem nenhum elemento é chamado de vazio e pode ser representado por $\{\ \}$ ou $\varnothing$. Por exemplo, dado o conjunto $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, os números pares que pertencem a ele podem formar o conjunto $P = \{2, 4\}$; já os números maiores do que 3 de $A$ formam o conjunto $M = \{4, 5\}$, e o conjunto formado pelos elementos negativos de $A$ será representado por $\varnothing$, pois nenhum elemento de $A$ é negativo.

Conjunto unitário

Um conjunto com apenas um elemento é chamado de unitário. O conjunto dos números primos pares, ou seja, $C = \{2\}$, é um exemplo desse conjunto.

Conjunto universo

Muitas vezes, precisamos definir em qual universo estamos resolvendo nossas questões. O conjunto universo ($U$) envolve todos os conjuntos e elementos possíveis. Se considerarmos o lançamento de um dado tradicional, por exemplo, o conjunto universo é $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$; já se vamos escolher um aluno de uma sala de aula, o conjunto universo é o conjunto com todos os alunos dessa sala.

Relação de pertinência

Cada elemento pode ou não pertencer a um conjunto. Para isso, usamos os símbolos $\in$ (pertence) quando for elemento do conjunto, e $\notin$ (não pertence) caso contrário.

Exemplo: Se $M = \{1, 2, 3, 4\}$, então $1 \in M$, $3 \in M$ e $5 \notin M$.

Subconjunto

Dado um conjunto $X$ e considerados os seus elementos, todos os conjuntos que podemos formar utilizando apenas os elementos de $X$ serão chamados de subconjuntos de $X$. A esses subconjuntos acrescentamos o conjunto vazio, e assim temos todos os subconjuntos de $X$.

Exemplo: Se $M = \{5, 6, 7\}$, os subconjuntos de $M$ serão:

Assim, você pode responder às seguintes perguntas sobre o conjunto $M$:

1. Qual é o subconjunto de $M$ com elementos pares?

   Resposta: $\{6\}$

2. Quais são os subconjuntos de $M$ cujos elementos são números inteiros?

   Resposta: $\{5\}, \{6\}, \{7\}, \{5, 6\}, \{5, 7\}, \{6, 7\}, \{5, 6, 7\}$

3. Qual é o subconjunto de $M$ com números maiores do que 10?

   Resposta: $\varnothing$

Se $A$ é subconjunto de $B$, escrevemos $A \subset B$ (que se lê “$A$ está contido em $B$”) ou $B \supset A$ (que se lê “$B$ contém $A$”). Se $A$ não é subconjunto de $B$, podemos afirmar que $A \not\subset B$.

Um conjunto formado por todos os subconjuntos de $X$ é chamado de conjunto das partes de $X$, representado por $\wp(X)$. Para facilitar, utilizaremos $P(X)$.

Do Exercício resolvido 1, relativo ao conjunto $N$, temos: $P(N) = \{\{1\}, \{2\}, \{1, 2\}, \varnothing\}$. Nesse caso, podemos escrever $\{1\} \in P(N)$ e $\{2\} \in P(N)$, pois eles são elementos de $P(N)$; e que $\{\{1\}\} \subset P(N)$, pois é subconjunto de $P(N)$.

Propriedades da inclusão

Sendo um conjunto universo $U$ e seus subconjuntos $X$, $Y$ e $Z$, temos:

1. $X \subset U$
2. $X \subset X$ (reflexiva)
3. Se $X \subset Y$ e $Y \subset Z$, então $X \subset Z$ (transitiva)
4. Se $X \subset Y$ e $Y \subset X$, então $X = Y$ (igualdade)

Por meio de diagramas, essas propriedades podem ser facilmente verificadas.

Número de subconjuntos

Se um conjunto tem $n$ elementos, então ele possui $2^n$ subconjuntos. Nos conjuntos apresentados anteriormente, observamos que:

• $M$ tem 3 elementos e $2^3 = 8$ subconjuntos;
• $N$ tem 2 elementos e $2^2 = 4$ subconjuntos.

Isso é demonstrado pelo princípio fundamental da contagem, que será posteriormente estudado em Análise Combinatória.

Igualdade de conjuntos e o símbolo “$\Leftrightarrow$”

Dois conjuntos $A$ e $B$ são iguais se possuírem os mesmos elementos. Também podemos afirmar que “todos os elementos de $A$ pertencem a $B$ e todos os elementos de $B$ pertencem a $A$”.

Uma maneira matemática de escrevermos isso é $x \in A \Leftrightarrow x \in B$, ou seja, $x$ pertencer a $A$ é equivalente a $x$ pertencer a $B$. O equivalente dá a ideia de “vice-versa”.

Inclusão e o símbolo “$\Rightarrow$”

Se $A$ é subconjunto de $B$, podemos afirmar que “todos os elementos de $A$ pertencem a $B$”.

Uma maneira matemática de escrevermos isso é $x \in A \Rightarrow x \in B$, ou seja, $x$ pertencer a $A$ implica $x$ também pertencer a $B$. Nessa situação, não podemos concluir que a recíproca é verdadeira.

Operações entre conjuntos

União

Considere dois conjuntos $A$ e $B$ em um universo $U$. A união entre eles ($A \cup B$) é um conjunto formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um dos dois conjuntos.

Exemplos:

Se $A = \{1, 2\}$ e $B = \{1, 2, 3\}$, então $A \cup B = \{1, 2, 3\}$.

Se $A = \{1, 2, 3\}$ e $B = \{1, 2, 3\}$, então $A \cup B = \{1, 2, 3\}$.

Se $A = \varnothing$ e $B = \{1, 2\}$, então $A \cup B = \{1, 2\}$.

Se $A = \{2, 4\}$ e $B = \{3, 5\}$, então $A \cup B = \{2, 3, 4, 5\}$.

Interseção

Considere dois conjuntos $A$ e $B$ em um universo $U$. A interseção ($A \cap B$) entre eles é o conjunto formado pelos elementos comuns aos dois conjuntos.

Exemplos:

Se $A = \{1, 2, 3, 4\}$ e $B = \{3, 4, 5\}$, então $A \cap B = \{3, 4\}$.

Se $A = \{1, 2, 3\}$ e $B = \{1, 2\}$, então $A \cap B = \{1, 2\}$.

Se $A = \{1, 3, 5\}$ e $B = \{2, 4, 6\}$, então $A \cap B = \varnothing$.

Se $A = \varnothing$ e $B = \{1, 2\}$, então $A \cap B = \varnothing$.

PROPRIEDADES DA UNIÃO E DA INTERSEÇÃO

Diferença

Considere dois conjuntos $A$ e $B$ em um universo $U$. A diferença $A - B$ é um conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto $A$ e não pertencem ao conjunto $B$.

Exemplos:

Se $A = \{1, 2, 3\}$ e $B = \{2, 3, 4\}$, então $A - B = \{1\}$.

Se $A = \{1, 2, 3\}$ e $B = \{4\}$, então $A - B = \{1, 2, 3\}$.

Se $A = \{1, 2\}$ e $B = \{1, 2, 3\}$, então $A - B = \varnothing$.

Para obter $A - B$, “eliminamos de $A$ os elementos que estão em $B$”.

A diferença $A - B$ (ou $A \backslash B$) pode ser escrita assim:

Complementar de A em relação a B

Considere dois conjuntos $A$ e $B$ em um universo $U$, com $A \subset B$. O conjunto complementar de $A$ em relação a $B$ ($\mathrm{C}_B^A$) será formado pelos elementos que faltam em $A$ para que ele seja igual ao conjunto $B$, ou seja, $B - A$. Representando em diagrama:

Exemplos:

• $A = \{1, 2\}$ e $B = \{1, 2, 3\}$, então $\mathrm{C}_B^A = \{3\}$.
• $D = \{2, 3, 4\}$ e $E = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, $\mathrm{C}_E^D = \{1, 5\}$.

Complementar de A em relação ao universo

Considere o conjunto $A$ em um universo $U$. O conjunto complementar de $A$ em relação ao universo é formado por todos os elementos do universo que não pertencem a $A$.

A expressão “em relação ao universo” pode ser omitida, e diremos apenas complementar de $A$, representando por $\overline{A}$ ou $A'$ e escrito na forma:

A partir do diagrama, podemos concluir que $\overline{A} \cup A = U$ e $\overline{A} \cap A = \varnothing$.

Leis de De Morgan

Há propriedades envolvendo o conjunto complementar com a união e com a interseção. São elas:

Número de elementos da união de conjuntos

Para representar o número de elementos de um conjunto $X$, usaremos a notação $n(X)$. Assim, $n(A \cap B)$ é o número de elementos da interseção entre $A$ e $B$, $n(A \cup B \cup C)$ é o número de elementos da união de $A$, $B$ e $C$.

Se dois conjuntos $A$ e $B$ são disjuntos, ou seja, $A \cap B = \varnothing$, percebemos que:

Exemplo:

Se $A = \{3, 5\}$ e $B = \{1, 2, 4\}$, então $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$. Assim, observamos que $n(A \cup B) = 2 + 3 = 5$.

Agora, se $A = \{1, 2, 3\}$ e $B = \{3, 4, 5\}$, então $A \cap B = \{3\}$ e $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$. Devemos notar que $n(A \cup B) = 5$, enquanto $n(A) = 3$ e $n(B) = 3$. Se considerarmos que $n(A \cup B) = n(A) + n(B)$, contaremos o elemento 3 duas vezes.

Podemos utilizar a mesma ideia se fizermos um “ajuste” na contagem, ou seja, retirando uma vez todos os elementos que pertencerem à interseção, para que, dessa forma, não sejam contados em duplicidade. Assim, para conjuntos não disjuntos temos:

Exemplo:

Note que, se $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ e $B = \{4, 5, 6\}$, temos $A \cap B = \{4, 5\}$ e $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Como $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$, para o caso em questão teremos $n(A \cup B) = 5 + 3 - 2 = 6$.

Fazendo diagramas e destacando os conjuntos $A$ e $B$, notamos que a interseção foi “contada” duas vezes.

Fazendo diagramas para três conjuntos, percebemos a definição de 7 regiões e $n(A \cup B \cup C) = p + q + r + s + t + u + v$.

Vamos deduzir uma expressão para definir $n(A \cup B \cup C)$.

Temos que $n(A) = p + q + r + s$, $n(B) = q + r + t + u$, $n(C) = r + s + u + v$, daí verificamos que $n(A) + n(B) + n(C) = p + t + v + 2q + 2s + 2u + 3r$.

Retirando as interseções, temos:

Finalmente, acrescentamos $n(A \cap B \cap C)$:

Daí, concluímos que:

Apesar da expressão, é muito comum usar os diagramas para resolver esse tipo de problema, como mostra o exercício a seguir.

Conjuntos numéricos

Os conjuntos numéricos serão estudados mais detalhadamente em outro capítulo; por enquanto, vamos apenas lembrar como são seus elementos e algumas de suas propriedades.

• Conjunto dos números naturais:

  $$\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, \ldots\}$$

• Conjunto dos números inteiros:

  $$\mathbb{Z} = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}$$

• Conjunto dos números racionais:

  $$\mathbb{Q} = \left\{ x \;\middle|\; x = \frac{a}{b},\ a \in \mathbb{Z} \text{ e } b \in \mathbb{Z}^* \right\}$$
• Conjunto dos números irracionais: é o conjunto formado por números que não são racionais, representado por $\mathbb{I}$, $\mathbb{Q}'$ ou $\mathbb{R} - \mathbb{Q}$.
• Conjunto dos números reais: corresponde à união entre os números racionais e os irracionais, $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{Q}'$.

Esses conjuntos podem ser apresentados em um diagrama.

Intervalos reais

Os elementos do conjunto dos números reais podem ser dispostos em uma reta, fornecendo assim uma relação de ordem.

Quanto mais à direita o número estiver, maior ele será. Daí, escrevemos:

Quanto mais à esquerda, menor o número será. Podemos escrever:

Como 4 está à esquerda de 6, então $4 < 6$ ou $6 > 4$. As duas afirmações são equivalentes.

Para destacar “partes” da reta, utilizamos a representação de intervalos.

Os números $x$ maiores do que 2 são escritos na forma $x > 2$. Como o 2 não está incluído, utilizamos a notação de “bolinha aberta”.

Se o número 2 estivesse incluído, escreveríamos $x \geq 2$ e utilizaríamos a notação de “bolinha fechada”.

Para números menores do que 5, escrevemos $x < 5$ e “bolinha aberta”.

Novamente, incluindo o número 5, escrevemos $x \leq 5$ e “bolinha fechada”.

Em intervalos limitados, é necessário estabelecer os dois extremos, havendo as seguintes possibilidades:

Utilizando a notação de conjuntos na representação dos intervalos apresentados anteriormente, temos:

Utilizando colchetes

Também podemos representar intervalos numéricos reais utilizando colchetes. Quando incluímos a extremidade (“bolinha fechada”), o colchete fica voltado para dentro; já quando excluímos a extremidade do intervalo (“bolinha aberta”), o colchete fica voltado para fora.

Quando uma extremidade é livre (sem fim), usamos os símbolos $+\infty$ e $-\infty$ (mais e menos infinito) com colchetes voltados para fora.

Assim, temos os exemplos: