Relações e funções

Relacionar elementos de dois conjuntos é uma das tarefas cotidianas que mais executamos. Associamos uma pessoa a um número; um nome a um animal de estimação; números de telefones a um endereço; e tantas outras coisas. Essas associações são exemplos de relações. O estudo dessas relações nos ajuda a compreender fenômenos e a prever comportamentos, como a interação entre duas espécies, incluindo o consumo de um predador e a densidade populacional de sua presa. Neste capítulo, vamos analisar como a Matemática relaciona conjuntos, além de apresentar a teoria das funções, algumas de suas características, suas propriedades e representações.

Par ordenado

Quando precisamos distinguir dois números e usamos a ordem como são apresentados para diferenciá-los, utilizamos o conceito de par ordenado.

Exemplo: Suponha que vamos representar a idade de um homem e de uma mulher. Para isso, criamos a notação (idade do homem, idade da mulher).

Vamos utilizar a notação $(a, b)$ para representar um par ordenado. Quando números decimais estiverem envolvidos, utilizaremos a notação $(a; b)$. Geralmente, o primeiro valor do par ordenado é denominado abscissa e o segundo, ordenada.

Dois pares ordenados são iguais se e somente se suas abscissas são iguais e suas ordenadas são iguais:

Note que, por isso, $(2, 4) = (4, 2)$, ou seja, invertendo a ordem em que os valores de $a$ e $b$ são apresentados, obtemos pares ordenados distintos.

Produto cartesiano

Dados dois conjuntos A e B, o produto cartesiano $A \times B$ é formado por todos os pares ordenados possíveis $(x, y)$, em que $x$ é elemento de A e $y$, elemento de B. Assim:

Exemplo: Dados os conjuntos $A = \{1, 2, 3\}$ e $B = \{3, 4\}$, temos:

Também podemos utilizar na representação de um produto cartesiano um diagrama de flechas. Utilizando os conjuntos do exemplo anterior, o produto $A \times B$ é representado do seguinte modo:

Também podemos representar $A \times B$ utilizando o plano cartesiano. Os elementos de A são representados no eixo das abscissas ($x$) e os elementos de B no eixo das ordenadas ($y$). Do exemplo anterior, temos:

Dessa forma, podemos representar o produto cartesiano entre intervalos de números reais. Por exemplo, o produto $[2, 5] \times [1, 3[$.

Perceba que, para $y = 3$, devemos ter “bolinha aberta” e lado tracejado, já que essa parte do retângulo não pertence ao produto cartesiano.

Se fizermos o produto cartesiano $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$, obtemos o plano cartesiano em sua totalidade.

É possível fazer produto cartesiano para três ou mais conjuntos. Assim, teremos triplas, quádruplas, quíntuplas ordenadas.

Número de elementos do produto cartesiano

Para dois conjuntos A e B finitos, o número de elementos do produto cartesiano $A \times B$ é dado por:

Exemplo: Sejam os conjuntos $A = \{1, 2, 3, \ldots, 10\}$ e $B = \{1, 2, 3, 4\}$. Vamos definir o número de elementos dos produtos cartesianos a seguir.

1. $n(A \times B) = n(A) \cdot n(B) \Rightarrow n(A \times B) = 10 \cdot 4 = 40$
2. $n(B^2) = n(B \times B) = n(B) \cdot n(B) \Rightarrow n(B^2) = 4 \cdot 4 = 16$
3. $n(A^3) = n(A \times A \times A) = n(A) \cdot n(A) \cdot n(A) \Rightarrow$
   $\Rightarrow n(A^3) = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$
4. $n(B^4) = n(B \times B \times B \times B) = n(B) \cdot n(B) \cdot n(B) \cdot n(B) \Rightarrow$
   $\Rightarrow n(B^4) = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 256$

Relação

Uma relação de A em B é qualquer subconjunto do produto cartesiano $A \times B$, normalmente seguindo alguma propriedade determinada.

Exemplo: Dados os conjuntos $A = \{1, 2, 3, 4\}$ e $B = \{2, 3, 4\}$, os conjuntos abaixo são exemplos de relações de A em B.

1. $R_1 = \{(x, y) \in A \times B \mid y = 2x\} \Rightarrow R_1 = \{(1, 2), (2, 4)\}$
2. $R_2 = \{(x, y) \in A \times B \mid y > x\} \Rightarrow R_2 = \{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)\}$
3. $R_3 = \{(x, y) \in A \times B \mid x + y = 5\} \Rightarrow R_3 = \{(1, 4), (2, 3), (3, 2)\}$
4. $R_4 = \{(x, y) \in A \times B \mid x = y\} \Rightarrow R_4 = \{(2, 2), (3, 3), (4, 4)\}$

A relação também pode ser representada por um diagrama de flechas. Com os dados do exemplo anterior, a relação $R_2$ é representada por:

Função

Uma relação de A em B é chamada de função quando cada um dos elementos de A, sem exceção, estiver relacionado a um único elemento de B.

Exemplos: Considerando os conjuntos A e B, observe os diagramas a seguir com algumas relações:

1. $R_1$

   

   $R_1$ é uma função de A em B, pois cada elemento de A tem um único correspondente em B.

2. $R_2$

   

   $R_2$ não é uma função de A em B, pois um elemento de A não tem correspondente em B.

3. $R_3$

   

   $R_3$ também não é uma função de A em B, pois há um elemento de A com mais de um correspondente em B.

   Outros exemplos:

4. Uma relação que associa cada pessoa à sua idade é uma função, pois cada pessoa só tem uma idade.
5. Uma relação que associa cada pessoa a seus filhos não é uma função, pois uma pessoa pode não ter filhos ou ter um ou mais filhos.
6. Relacionar um número a seu quadrado é uma função, pois todo número ao quadrado tem um único resultado.

Em uma função $f$ de A em B, chamamos o conjunto A de conjunto de partida ou domínio da função, e o representamos por D ou $D(f)$. O conjunto B é o conjunto de chegada ou o contradomínio da função, e o representamos por CD ou $CD(f)$.

A imagem de uma função $f$, representada por Im ou $\operatorname{Im}(f)$, é formada pelos elementos do contradomínio que estão associados aos elementos do domínio, ou seja, os elementos que efetivamente são “resultados” da função.

Para escrevermos uma função, devemos ter três informações: o seu domínio, seu contradomínio e uma lei de formação.

Em outras palavras, precisamos conhecer “de onde vem”, “para onde vai” e “qual é o caminho”.

Representações de função

Vamos representar uma função que calcula o quadrado de um número (lei de formação), sendo que o domínio e o contradomínio são o conjunto dos números reais.

• Podemos utilizar diagramas:

  

• Também podemos adotar $x$ para representar os elementos do domínio e $y$ para os “resultados” (imagens — subconjunto do contradomínio) e utilizar a notação a seguir:

  

  Assim, para $x = 1$ temos $y = 1^2 = 1$, para $x = 2$ temos $y = 2^2 = 4$, e podemos escolher qualquer elemento do domínio para substituir em $x$. Os valores de $y$ são os “resultados”, ou seja, a imagem da função para aquele valor de $x$.

• Ou, ainda, podemos representar a função no plano cartesiano considerando $x$ e $y$ o domínio e o contradomínio, respectivamente. Cada ponto corresponde a uma “flecha” da representação por diagramas.

  

  Dessa forma, estamos representando as infinitas associações da função.

Notação $f(x)$

Para uma função $f$, podemos utilizar a notação $f(x)$ para representar a lei de formação dessa função. Por exemplo, considerando a função real $y = x^2$, podemos escrevê-la como $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ com $f(x) = x^2$, e assim:

• para $x = 2$, temos $y = 2^2 = 4$ ou $f(2) = 4$
• para $x = 5$, temos $y = 5^2 = 25$ ou $f(5) = 25$

Devemos entender que podemos substituir $x$ por qualquer elemento do domínio, lembrando que, em qualquer lugar da lei de formação em que apareça a variável $x$, ela também deve ser substituída pelo valor escolhido inicialmente.

Exemplo: Sendo $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$, determine:

1. $f(1) = 2 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 + 1 = 2 - 3 + 1 = 0$
2. $f(2) = 2 \cdot 2^2 - 3 \cdot 2 + 1 = 8 - 6 + 1 = 3$
3. $f(0) = 2 \cdot 0^2 - 3 \cdot 0 + 1 = 0 - 0 + 1 = 1$

Perceba que o $x$ representa “um lugar vago”, “um espaço em branco” e você pode substituí-lo por qualquer valor do domínio, expressões ou até mesmo outras funções, mas lembre-se de que todos eles devem ser substituídos.

Uma função descrita por $f(x + 2) = 3x + 1$ interpretamos do seguinte modo:

Na situação citada, para calcular, por exemplo, $f(3)$, devemos utilizar $x = 1$, obtendo:

Domínio da função

Todos os elementos do domínio de uma função devem estar associados a elementos do contradomínio. Normalmente esse conjunto vem descrito na função, mas há a possibilidade de termos que encontrá-lo. Nesses casos, devemos obter o maior subconjunto possível de $\mathbb{R}$ que respeite as condições de existência da função.

Contradomínio da função

Se o contradomínio da função não estiver explicitado na função, adotamos o conjunto dos números reais ou igualamos ao conjunto imagem por razões que veremos adiante.

Imagem da função

Se uma função está representada graficamente, podemos obter sua imagem projetando ortogonalmente sua representação no eixo das ordenadas, como mostra o exemplo a seguir:

A imagem da função apresentada no gráfico é formada por dois intervalos:

Classificações das funções

Crescente ou decrescente

A partir de um intervalo do domínio, escolhendo os valores $x_1$ e $x_2$, e verificando suas imagens, dizemos que uma função é crescente nesse intervalo se, para $x_2 > x_1$, tivermos $f(x_2) > f(x_1)$, quaisquer que sejam $x_1$ e $x_2$. Nesse caso, o gráfico da função $f$ terá um comportamento ascendente.

Se nesse determinado intervalo para $x_2 > x_1$ tivermos $f(x_2) < f(x_1)$, quaisquer que sejam $x_1$ e $x_2$, dizemos que a função é decrescente e a curva que representa a função terá um comportamento descendente.

Sobrejetora

Se a imagem de uma função for igual ao contradomínio, diremos que ela é uma função sobrejetora.

Exemplos:

1. $f\colon [1, 7] \to [2, 6]$

   Observando o gráfico dessa função, notamos que $\operatorname{Im} = CD$. Logo, ela é sobrejetora.

   

2. $f\colon [1, 7] \to [2, 10]$

   Já para esta função, podemos observar pelo gráfico que $\operatorname{Im} \neq CD$. Logo, ela não é sobrejetora.

   

Injetora

Para uma função ser injetora, elementos diferentes do domínio devem possuir imagens diferentes, ou seja, $x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)$. Assim, a partir de um valor de $y$ da imagem, encontraremos um único $x$ correspondente. Isso caracteriza uma função injetora.

Uma maneira mais informal é dizer “cada $x$ tem seu próprio $y$”, ou seja, “não compartilha o mesmo $y$ com ninguém”.

Exemplos:

1. $f\colon [1, 7] \to [2, 6]$

   

2. $f\colon [1, 7] \to [2, 6]$

   

Uma função injetora será sempre crescente ou sempre decrescente, ou seja, “só sobe” ou “só desce”.

As classificações sobrejetora e injetora são independentes.

Bijetora

Quando uma função for, ao mesmo tempo, injetora e sobrejetora, ela será chamada de função bijetora.

Ser bijetora significa que a função é inversível, ou, de maneira mais informal, que é “função na ida e na volta”. Veremos mais sobre isso no capítulo 4. Quando uma função é bijetora, nós podemos encontrar um único par $(x, y)$ pertencente à função conhecendo apenas um de seus valores.

Exemplos:

1. $f\colon [1, 5] \to [3, 11]$ e $y = 2x + 1$ é uma função bijetora:

   $$\begin{cases} \text{Se } x = 4 \text{, temos: } y = 2 \cdot 4 + 1 = 9 \\ \text{Se } y = 9 \text{, temos: } 9 = 2x + 1 \Rightarrow x = 4 \end{cases} \Rightarrow (4, 9) \in f$$

   Para essa função, se $x = 4$, necessariamente $y = 9$, e vice-versa.

2. $f\colon [-3, 3] \to [-9, 9]$ e $y = x^2$ não é uma função bijetora:

   $$\begin{cases} \text{Se } x = 2 \text{, temos: } y = x^2 = 4 \\ \text{Se } y = 4 \text{, temos: } 4 = x^2 \Rightarrow x = \pm 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (2, 4) \in f \\ (-2, 4) \in f \end{cases}$$

   Para essa função, se $y = 4$, há dois valores possíveis de $x$: $-2$ e 2.

Função par

Se quaisquer dois elementos simétricos do domínio possuírem sempre a mesma imagem, diremos que a função é par. Em outras palavras, uma função é par se $f(-x) = f(x)$, para qualquer valor de $x$ pertencente ao domínio.

Exemplos:

1. $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$ $f(3) = 9$, $f(-3) = 9$
2. $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = |x|$ $f(5) = 5$, $f(-5) = 5$

O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo das ordenadas.

Observação: Uma função par nunca é injetora.

Função ímpar

Se quaisquer dois elementos simétricos do domínio possuírem sempre imagens simétricas, diremos que a função é ímpar. Em outras palavras, uma função é ímpar se $f(-x) = -f(x)$, para todo valor de $x$ pertencente ao domínio.

Exemplos:

1. $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^3$ $f(2) = 8$, $f(-2) = -8$
2. $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x$ $f(3) = 6$, $f(-3) = -6$

O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem. A origem sempre será o ponto médio do segmento obtido quando unimos dois pontos com valores simétricos de $x$.

Se $x = 0$ pertence ao domínio de uma função ímpar $f$, necessariamente temos $f(0) = 0$.

Existem funções que não são pares nem ímpares.

Função periódica

Escolhendo um elemento $x$ do domínio e acrescentando um valor fixo $p$, se as imagens de $x$ e $x + p$ forem iguais para qualquer valor de $x$, isto é, se $f(x) = f(x + p)$, diremos que a função é periódica. O menor valor positivo de $p$, se existir, é chamado de período.

Exemplo:

Interpretação de gráficos

Qualquer gráfico no plano cartesiano pode ser interpretado como uma relação entre dois conjuntos. Através do conceito de função, cada valor de $x$ se associa a um único valor de $y$. A partir disso, quando perguntamos valores, sinais e variações de uma função, verificamos o que ocorre com os valores de $y$, mas respondemos utilizando valores ou intervalos de $x$.

Exercício resolvido 7

Observe o gráfico a seguir, que mostra a medida de temperatura ambiente às 15 horas durante 6 dias seguidos.

1. Em qual dia a temperatura foi 22 °C?
2. Em qual dia registramos a menor temperatura?
3. Em quais dias registramos, às 15 horas, temperaturas maiores que 23 °C?

Intervalos da função

A partir do gráfico, podemos verificar em quais intervalos as funções assumem determinados valores.

Por exemplo, considerando o gráfico abaixo, notamos que a função (valores de $y = f(x)$) apresenta valores maiores que 5 no intervalo entre 1 e 2, ou seja:

Novamente, observando os valores da função no eixo das ordenadas, mas respondendo utilizando os valores das abscissas, podemos afirmar que a função apresenta valores menores que 3 no intervalo entre 3 e 4, ou seja:

Raízes da função

As raízes de uma função são os valores das abscissas em que o gráfico corta esse eixo. Nesses pontos, os valores de $y$ são nulos.

As raízes da função representada no gráfico são 1, 3, 4 e 6, que correspondem aos pontos $(1, 0)$, $(3, 0)$, $(4, 0)$ e $(6, 0)$.

Podemos determinar as raízes de uma função a partir de sua lei de formação resolvendo $y = 0$ ou $f(x) = 0$.

Estudo do sinal da função

Estudar o sinal de uma função corresponde a verificar para quais intervalos do eixo $x$ os valores de $y$ são positivos, negativos ou nulos. Para isso, basta observarmos os pontos do gráfico que estão acima, abaixo ou no eixo das abscissas.

O gráfico está acima do eixo das abscissas para valores de $x$ entre $-3$ e 3 e maiores do que 6. Isso significa que a função é positiva nesses intervalos, ou seja:

A função é negativa nos pontos abaixo do eixo das abscissas. Isso ocorre para valores de $x$ menores que $-3$ e entre 3 e 6; assim:

Por fim, podemos observar pelo gráfico que a função é nula quando $x = -3$ ou $x = 3$ ou $x = 6$.