Matemática · Trigonometria, Identidades trigonométricas, Equações trigonométricas, Equações quadráticas

Soluções de alguns exercícios selecionados

Como dado no enunciado $2\sen\theta=3\operatorname{tg}^2\theta$. Desenvolvendo:

temos assim duas possíveis soluções:

• $\sen\theta=0\Leftrightarrow x=n\pi$ com $\theta\in\mathbb{Z}$, mas pelo enunciado $0<\theta<\dfrac\pi2$, então descartamos esta solução.

• $2-3\left(\dfrac{\sen\theta}{\cos^2\theta}\right)=0$, e neste caso, desenvolvendo temos:

  $$\begin{aligned} 2&=3\left(\frac{\sen\theta}{\cos^2\theta}\right)\\ 2\cos^2\theta&=3\sen\theta\\ 2(1-\sen^2\theta)&=3\sen\theta\\ 2\sen^2\theta+3\sen\theta-2&=0 \end{aligned}$$

Resolvendo essa equação usando Báscara obtemos $\sen\theta=\dfrac12$ ou $\sen\theta=-2$, porém descartamos esta última e assim: $\sen\theta=\dfrac12\Leftrightarrow\theta=\dfrac\pi6$, uma vez que a solução se encontra no primeiro quadrante, como dado no enunciado. Assim, $\cos\theta=\cos\dfrac\pi6=\dfrac{\sqrt3}{2}$, letra B.