Matemática · Progressão geométrica, Triângulo equilátero, Simetria

Repetido a construção do item a), tomando agora como ponto de partida o triângulo $\Delta A_1 OB_1$, pode-se obter o triângulo $\Delta A_ 2 OB_ 2$ tal que $A_2$ é o ponto médio do segmento $\overline{A_1 B_1 }$, e $B_2$ e o ponto simétrico de $A_2$ em relação à reta determinada por $O$ e $B_1$. Repetindo mais uma vez o procedimento, obtém-se o triângulo $\Delta A_3 O B _ 3$. Assim, sucessivamente, pode-se construir uma sequência de triângulos $\Delta A_n OB_ n$ tais que, para todo $n \geq 1$, $A_n$ é o ponto médio de $\overline{A_{n-1}B_{n-1}}$, e $B_n$, o ponto simétrico de $A_n$ em relação à reta determinada por $O$ e $B_{n-1}$, conforme figura ao lado.

Denotando por $a_n$, para $n \geq 1$, o comprimento do segmento $\overline{A_{n-1} A_n}$, verifique que $a_1, a_2, a_3, ...$ é uma progressão geométrica. Determine sua razão.

Determine, em função de n, uma expressão para o comprimento da linha poligonal $A_0 A_1 A_2 \, ... \, A_n, n \geq 1.$