Dois planos π 1 e π 2 se interceptam ao longo de uma reta r, de maneira que o ângulo entre eles meça a radianos, 0 < a < π /2. Um triângulo equilátero ABC, de lado l, está contido em π 2, de modo que AB esteja em r. Seja D a projeção ortogonal de C sobre o plano π 1, e suponha que a medida θ, em radianos, do ângulo CwidehatAD, satisfaça senθ = frac√64. Nessas condições, determina, em função de l.

Fuvest 2010 · Segunda fase · Questão 4 · Discursiva

Matemática · Diedros, Projeções ortogonais, Tetraedros

Dois planos $\pi _{1}$ e $\pi _{2}$ se interceptam ao longo de uma reta $r$ , de maneira que o ângulo entre eles meça $a$ radianos, $0 < a < \frac{\pi }{2}$ . Um triângulo equilátero $ABC$ , de lado $l$ , está contido em $\pi _{2}$ , de modo que $\overline{AB}$ esteja em $r$ . Seja $D$ a projeção ortogonal de $C$ sobre o plano $\pi _{1}$ , e suponha que a medida $\theta$ , em radianos, do ângulo $C\widehat{A}D$ , satisfaça $sen\theta = \frac{\sqrt{6}}{4}$ .

Nessas condições, determina, em função de $l$ .

o valor de $a$ .
a área do triângulo $ABD$ .
o volume do tetraedo $ABCD$ .

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