Considere a função fa : [0,1] → [0,1] que depende de um parâmetro a in ]1,2] , dada por [Figura] Sabe-se que existe um único ponto pa in ]1/2,1[ tal que fa(pa) = pa. Na figura a seguir, estão esboçados o gráfico de fa e a reta de equação y = x. [Figura]

Fuvest 2017 · Segunda fase · Questão 5 · Discursiva

Matemática · Composição de funções, Coordenadas cartesianas

Considere a função f_a : [0,1] $\rightarrow$ [0,1] que depende de um parâmetro a $\in$ ]1,2] , dada por

Imagem incorporada pela fonte (Kuadro) sem texto alternativo; conteúdo a descrever na revisão.

Sabe-se que existe um único ponto p_a $\in$ $]\frac{1}{2},1[$ tal que f_a(p_a) = p_a. Na figura a seguir, estão esboçados o gráfico de f_a e a reta de equação y = x.

Encontre uma expressão para o ponto p_a em função de a.
Mostre que f_a(f_a(1/2)) < 1/2 para todo a $\in$ ]1,2].
Utilizando a desigualdade do item b), encontre a $\in$ ]1,2] tal que f_a(f_a(f_a(1/2))) = p_a, em que p_a é o ponto encontrado no item a)

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