Conjuntos numéricos

A princípio, a Matemática surge como a ciência que observa números nos mais diversos padrões da realidade. As técnicas de contagem, ordenação e mensuração, há tanto tempo estudadas na Matemática, mostraram-se tão úteis à humanidade que, hoje, centenas de anos depois, seus estudos continuam a proporcionar o surgimento de novas tecnologias. Por trás dos avanços tecnológicos, estão números e estruturas numéricas usadas para transmitir e proteger informações, como a biometria facial, disponível em celulares e utilizada para reduzir fraudes, autenticar documentos, confirmar identidades em aplicativos e controlar o acesso em diversos segmentos. E, para que possam ser processadas, essas informações precisam ser codificadas por meio de números e sequências numéricas.

Este capítulo pretende explorar os aspectos práticos e a variedade de interpretações de cada tipo de número.

Introdução

A teoria dos números estabelece alguns critérios para a construção dos significados do número. Dois desses critérios merecem destaque. Um deles é a relação de inclusão entre os conjuntos numéricos $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$, em que:

• $\mathbb{N}$ representa o conjunto dos números naturais;
• $\mathbb{Z}$ representa o conjunto dos números inteiros;
• $\mathbb{Q}$ representa o conjunto dos números racionais;
• $\mathbb{R}$ representa o conjunto dos números reais;
• $\mathbb{C}$ representa o conjunto dos números complexos.

O símbolo $\subset$ indica a relação de inclusão e pode ser lido como “está contido em”.

O outro critério é uma propriedade específica dessas relações de inclusão. Sendo X e Y dois desses conjuntos, se X está contido em Y, então todas as propriedades aritméticas válidas no conjunto X também são válidas no conjunto Y. Isso funciona como uma espécie de herança, pois o conjunto Y é construído a partir dos elementos do conjunto X.

Por outro lado, o conjunto Y deve possuir outras propriedades aritméticas que são impossíveis de serem enunciadas no conjunto X, de modo que o conjunto Y herda todas as propriedades de seu subconjunto X, mas também introduz novas propriedades e novas interpretações para os números que são seus elementos, sempre estendendo o significado do número.

Tipos de números

Da relação de ordem entre os conjuntos numéricos, pode-se entender que, se um número é natural, então ele também é inteiro, racional, real e complexo. Veja o número 10 (dez), por exemplo:

Em contrapartida, números que não são inteiros não podem ser naturais. Veja o exemplo do número 0,2 (dois décimos):

Mas o fato de 0,2 ser um número racional implica ele também ser um número real e complexo:

Além de pertencerem a pelo menos um dos cinco conjuntos numéricos ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ e $\mathbb{C}$), números podem ser classificados de muitas outras formas. Por exemplo, todo número inteiro pode ser classificado como número par ou ímpar.

Entre os números naturais há os que são primos, compostos, quadrados perfeitos, cubos perfeitos, triangulares etc.

Os números não inteiros podem ter quantidade finita ou infinita de casas decimais. Os números que admitem infinitas casas decimais em sua representação são separados em dízimas periódicas e números irracionais.

Pelo sinal, um número pode ser classificado como positivo ou negativo, havendo um único número que não é positivo nem negativo: o zero.

Operações com números

Os números são entidades matemáticas que interagem por meio de operações aritméticas, como a adição, produzindo um novo resultado numérico. Veja alguns exemplos:

Algumas operações são representadas por símbolos que se chamam operadores:

• O operador de adição é principalmente representado pelo símbolo $(+)$.

  $$1 + 2 = 3$$

• O operador de subtração é principalmente representado pelo símbolo $(-)$.

  $$3 - 2 = 1$$

• O operador de multiplicação é tanto representado por $(\times)$ quanto por $(\cdot)$, podendo ser omitido em alguns casos.

  $$2 \cdot 3 = 6$$
  $$4 \times 5 = 20$$

• O operador de divisão pode ser representado por $(:)$, e ainda pela barra de fração.

  $$6 : 3 = 2$$
  $$20/5 = \frac{20}{5} = 4$$

• O operador de radiciação ou de extração de raízes é representado pelo símbolo $\left(\sqrt{\phantom{x}}\right)$.

  $$\sqrt[3]{8} = 2$$

Também há as operações aritméticas representadas por siglas:

• A extração de logaritmos é representada pela sigla log.

  $$\log_2(8) = 3$$

• O mínimo múltiplo comum, pela sigla mmc.

  $$\operatorname{mmc}(4, 6) = 12$$

• O máximo divisor comum, pela sigla mdc.

  $$\operatorname{mdc}(4, 6) = 2$$

Entre essas operações, muitas são bem definidas em todos os conjuntos numéricos, desde os naturais até os complexos. Algumas não exatamente da mesma maneira, como a divisão, que nos conjuntos $\mathbb{N}$ e $\mathbb{Z}$ produz quociente e resto, mas resulta apenas quociente nos demais conjuntos numéricos.

Fechamento de um conjunto em relação a uma operação

Considera-se um conjunto numérico K fechado em relação a uma operação aritmética se essa operação gera apenas resultados pertencentes a K, quando aplicada a seus elementos.

Representando por $*$ uma operação aritmética genérica, um conjunto K é fechado em relação a $*$ se, e somente se:

Nessa implicação lógica, $a$ e $b$ representam números do conjunto K e $(a * b)$ representa o resultado produzido pela operação $*$ aplicada aos números $a$ e $b$.

O conjunto $\mathbb{N}$, por exemplo, é fechado em relação à adição, à multiplicação, à potenciação, ao mmc e ao mdc, mas não é fechado em relação à operação de subtração.

Quando um conjunto K não é fechado em relação a alguma operação $*$, a concepção de número pode ser ampliada para abranger o significado dos resultados que escapam de K. E assim, a partir dos elementos de $\mathbb{N}$, podem ser construídos os demais conjuntos numéricos $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ e $\mathbb{C}$.

Operações comutativas e associativas

As propriedades comutativa e associativa de uma operação aritmética dizem respeito à ordem ou posição dos números que participam da operação.

A comutatividade de uma operação pode ser observada nos resultados de sua aplicação aos pares de números. Uma operação $*$ é comutativa quando $a * b$ e $b * a$ produzem o mesmo resultado, quaisquer que sejam os números $a$ e $b$.

Já a associatividade de uma operação precisa ser observada nos resultados de sua aplicação a uma sucessão de pelo menos três números. Uma operação $*$ é associativa quando $(a * b) * c$ e $a * (b * c)$ produzem o mesmo resultado, quaisquer que sejam os números $a$, $b$ e $c$. De modo que, se uma operação é associativa, não há necessidade de indicar por parênteses em qual ordem ela deve ocorrer, pois $a * b * c$ pode ser calculado tanto da direita para a esquerda quanto da esquerda para a direita sem modificação no resultado.

Os números como soluções de equações

Na linguagem matemática, muitas perguntas podem ser expressas por sentenças algébricas em que um valor desconhecido $x$ deve ser encontrado. Essas sentenças são chamadas de equações. Veja alguns exemplos no quadro a seguir.

Todas as equações do quadro foram enunciadas usando apenas números naturais (3, 9, 15 e 64) e possuem soluções que também são números naturais. Essas soluções resultam das aplicações das operações contrárias, respectivamente, à adição, multiplicação e potenciação, que são, nessa ordem, as operações de subtração, divisão e radiciação:

• $x + 3 = 9 \Rightarrow x = 9 - 3 = 6$
• $3 \cdot x = 15 \Rightarrow x = 15 : 3 = 5$
• $x^3 = 64 \Rightarrow x = \sqrt[3]{64} = 4$

Mas nem toda equação enunciada com números naturais admite solução natural. Veja alguns exemplos no quadro a seguir.

Observe que os resultados destas equações não pertencem ao conjunto dos números naturais:

• A solução da equação $x + 9 = 4$ é um número negativo.

  $$x + 9 = 4 \Rightarrow x = 4 - 9 = -5$$

• A solução da equação $4 \cdot x = 9$ é um número que se escreve com apenas duas casas decimais.

  $$4 \cdot x = 9 \Rightarrow x = 9 : 4 = 2{,}25$$

• A solução da equação $9 \cdot x = 4$ é um número que, para ser escrito na forma decimal, precisa de uma quantidade infinita de casas decimais repetidas. Representações numéricas desse tipo são chamadas de dízimas periódicas.

  $$9 \cdot x = 4 \Rightarrow x = 4 : 9 = 0{,}444444444\ldots$$

• A equação $x^4 = 9$ tem como solução um número que, para ser escrito na forma decimal, precisa de uma quantidade infinita de casas decimais em que não se observa padrão de repetição algum. Números desse tipo são chamados de irracionais.

  $$x^4 = 9 \Rightarrow x = \sqrt[4]{9} = 1{,}7320508075\ldots$$

De tais resultados, derivam-se novas formas de representações numéricas que estudaremos no decorrer do capítulo.

Os números naturais

O conjunto dos números naturais pode ser definido por duas teorias diferentes: a ordinal e a cardinal. As diferenças de interpretação desses tipos de números naturais são tão profundas que as palavras usadas na língua portuguesa para designar os numerais de cada tipo pertencem a classes gramaticais diferentes.

Os números cardinais

A cardinalidade de um conjunto finito é a quantidade de elementos distintos que ele possui. Indica-se por $n(\mathrm{K})$ a cardinalidade de um conjunto K.

Por exemplo, considere os conjuntos A dos meses do ano e J dos dias do mês de janeiro. Repare que, mesmo não tendo elementos numéricos, esses conjuntos definem números:

• $n(\mathrm{A}) = 12$
• $n(\mathrm{J}) = 31$

O número natural cardinal é aquele capaz de indicar a quantidade de elementos de um conjunto finito. Esse tipo de interpretação do número natural é o que há de comum entre dois conjuntos de elementos completamente diferentes, por exemplo, o conjunto dos gases nobres da tabela periódica e o conjunto das bandas do espectro luminoso estudado por Newton.

A construção formal do conjunto desses números naturais está fundamentada sobre dois conceitos da teoria dos conjuntos, que são o número zero e a relação de sucessão.

• O número zero indica a quantidade de elementos do conjunto vazio: $0 = n(\varnothing)$.
• A relação de sucessão é a que existe entre as cardinalidades de um conjunto K e do conjunto que se obtém acrescentando-se um único elemento ao conjunto K.

Com base nesses conceitos, enunciam-se os seguintes postulados:

1. Zero é um número natural.
2. Todo número natural possui sucessor.
3. Zero não é sucessor de nenhum número natural.
4. Não há dois números naturais diferentes que possuam o mesmo sucessor.
5. Se um conjunto numérico possui o número zero e o sucessor de qualquer um de seus elementos, então esse é exatamente o conjunto dos números naturais.

Este último postulado é conhecido como o Princípio da Indução Matemática.

Os números ordinais

Estes numerais servem de ferramenta para localização espacial, como na frase “Vire na 3ª rua à esquerda”, ou temporal, como em “Março é o 3º mês do ano”.

Observe que tanto a 3ª rua quanto o 3º mês são únicos em suas existências e que, nesses casos, o número 3 foi utilizado para indicar apenas uma unidade. Essa é a característica principal de um número natural ordinal.

Independentemente da interpretação, cardinal ou ordinal, dois números naturais são denominados consecutivos se diferem em apenas uma unidade.

Além disso, $\mathbb{N}$ é um conjunto numérico discreto. Isso significa que, entre dois números naturais consecutivos, não há nenhum outro número natural. Considere a ordem de chegada dos atletas que participam de uma corrida e observe, por exemplo, que não existe colocação intermediária entre o 3º e o 4º lugar.

Em linguagem matemática:

Defasagem cardinal ordinal

Usamos o asterisco para diferenciar os conjuntos de números naturais cardinais e ordinais. Assim:

• $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, \ldots\}$
• $\mathbb{N}^* = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, \ldots\}$

Em todos os demais conjuntos numéricos, o asterisco é usado para indicar que o número zero não é elemento do conjunto considerado.

É importante observar que há uma defasagem entre os elementos desse conjunto. Do fato de zero ser o primeiro número natural decorre que o número 12 é o 13º número natural, por exemplo.

A defasagem entre os elementos desses conjuntos é a responsável pelo ano de 2020 pertencer ao século 21, entre outros exemplos cotidianos.

Operações com números naturais

Como já foi mencionado, esse conjunto numérico é fechado em relação às operações de adição, multiplicação, potenciação, mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum. Isso significa que, sendo $a$ e $b$ dois números naturais quaisquer:

Mas o conjunto $\mathbb{N}$ não é fechado em relação às operações de subtração, divisão, radiciação e extração de logaritmos. Por isso devem ser estabelecidas condições de existência (CE) para a execução dessas operações, com os elementos de $\mathbb{N}$.

Adição em $\mathbb{N}$

A operação de adição pode ser aplicada a qualquer quantidade de números naturais. Os números que participam da adição são chamados de parcelas, e o resultado da operação é chamado de soma.

Representando por $n'$ o sucessor de um número natural $n$, a operação de adição começa a ser definida pelas seguintes proposições:

• $n + 0 = n$
• $n + 1 = n'$

A primeira sentença define o número zero como o elemento neutro da operação, e da segunda sentença deve-se entender que não existe número natural maior que $n$ e menor que $n'$.

Representando por $m'$ o sucessor de outro número natural $m$, a operação de adição fica finalmente definida por:

• $n + m' = (n + m)'$

Além das sentenças que a definem, a adição possui as propriedades comutativa e associativa:

• $n + m = m + n$
• $(n + m) + p = n + (m + p)$

Subtração em $\mathbb{N}$

A operação de subtração é aplicada a apenas dois números naturais de cada vez. Os números que participam da subtração são o minuendo e o subtraendo, e o resultado é chamado de diferença ou de resto.

O minuendo designa o número que será reduzido de certa quantidade que, por sua vez, é indicada pelo subtraendo da operação.

Sendo $a$ e $b$ dois números naturais, a diferença $(a - b)$ só é possível nesse conjunto se o número $a$ for maior ou igual ao número $b$.

• $a \geq b \Rightarrow (a - b) \in \mathbb{N}$
• $a < b \Rightarrow (a - b) \notin \mathbb{N}$

A impossibilidade da subtração em outra ordem caracteriza essa operação como não sendo comutativa nem associativa. E como $(a - b) - c \neq a - (b - c)$, algumas propriedades devem ser observadas.

Veja:

• $a - b - c = (a - b) - c = a - (b + c)$
• $a - (b - c) = a - b + c = a + c - b$

O número zero funciona como elemento neutro da subtração apenas no lugar do subtraendo:

• $a - 0 = a$

O número zero também é o resultado da subtração de dois números iguais:

• $a - a = 0$

A subtração é a operação contrária da adição. Isso significa que, sendo $a$, $b$ e $c$ números naturais:

Multiplicação em $\mathbb{N}$

A operação de multiplicação pode ser aplicada a qualquer quantidade de números naturais. Os números que participam da multiplicação são chamados de fatores, e o resultado da operação é chamado de produto.

A operação de multiplicação começa a ser definida pelas seguintes proposições:

• $1 \cdot n = n$
• $0 \cdot n = 0$

A primeira sentença define o número 1 como o elemento neutro da operação, e a segunda mostra que a multiplicação de qualquer número por zero resulta no próprio zero.

Representando por $m'$ o sucessor do natural $m$, a operação de multiplicação fica finalmente definida por:

• $n \cdot m' = n \cdot m + n$

Dessa última expressão deduzem-se as propriedades distributivas da multiplicação em relação à adição e à subtração:

• $n \cdot (m + p) = n \cdot m + n \cdot p$
• $n \cdot (m - p) = n \cdot m - n \cdot p$

Além das sentenças que a definem, a multiplicação também possui as propriedades comutativa e associativa:

• $n \cdot m = m \cdot n$
• $(n \cdot m) \cdot p = m \cdot (n \cdot p)$

Divisão euclidiana em $\mathbb{N}$

A operação de divisão é aplicada a apenas dois números naturais de cada vez. Os números que participam da divisão são o dividendo e o divisor, e os resultados são chamados de quociente e de resto.

No esquema a seguir, o dividendo $n$ designa a quantidade que será repartida em partes iguais, o divisor $d$ indica quantas são essas partes, o quociente $q$ indica o valor de cada uma delas e o resto $r$ indica quantas unidades sobram da partição.

Sendo $n$ e $d$ dois números naturais, a divisão $n$ por $d$ só é possível, nesse conjunto, se o número $d$ for diferente de zero. Neste caso, para garantir que os valores do quociente e o resto sejam corretamente obtidos, duas relações algébricas devem ser verificadas, uma de igualdade e outra de desigualdade:

• $n = q \cdot d + r$
• $0 \leq r < d$

Observe que a relação de desigualdade não pode ser verificada quando $d = 0$, pois não há número natural $r$ que satisfaça $0 \leq r < 0$. Note também que, como $0 \leq r < d$, o valor de $q$, que satisfaz a igualdade $n = q \cdot d + r$, deve ser máximo.

Múltiplos e divisores

Uma relação especial pode ser observada quando o resto da divisão de um número $a$ por um número $b$ é igual a zero. Ela é designada pelos termos múltiplo e divisor:

Quando isso acontece, escreve-se $b \mid a$ que pode ser lido como “$b$ divide $a$”.

Dado um número natural qualquer $k$, o conjunto $\mathrm{M}(k)$ dos múltiplos naturais desse número $k$ pode ser obtido multiplicando-o por todos os números naturais.

• $\mathrm{M}(0) = \{0\}$
• $\mathrm{M}(1) = \mathbb{N}$
• $\mathrm{M}(2) = \{0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, \ldots\}$
• $\mathrm{M}(3) = \{0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, \ldots\}$
• $\vdots$
• $\mathrm{M}(k) = \{0, k, 2 \cdot k, 3 \cdot k, 4 \cdot k, 5 \cdot k, 6 \cdot k, 7 \cdot k, 8 \cdot k, 9 \cdot k, 10 \cdot k, 11 \cdot k, 12 \cdot k, \ldots\}$
• $\vdots$

Observe que, com exceção de $\mathrm{M}(0)$, todos os demais conjuntos M possuem infinitos elementos. Além disso, nota-se também que o zero pertence a todos $\mathrm{M}(k)$, sendo o único elemento menor que o próprio $k$.

• $0 \in \mathrm{M}(k)$
• $k \in \mathrm{M}(k)$

Vamos encontrar o conjunto $\mathrm{D}(n)$ dos divisores naturais de um número $n$. Para isso, é necessário encontrar todos os valores de $k$ para os quais $n \in \mathrm{M}(k)$.

• $\mathrm{D}(0) = \mathbb{N}$
• $\mathrm{D}(1) = \{1\}$
• $\mathrm{D}(2) = \{1, 2\}$
• $\mathrm{D}(3) = \{1, 3\}$
• $\mathrm{D}(4) = \{1, 2, 4\}$
• $\mathrm{D}(5) = \{1, 5\}$
• $\mathrm{D}(6) = \{1, 2, 3, 6\}$
• $\mathrm{D}(7) = \{1, 7\}$
• $\mathrm{D}(8) = \{1, 2, 4, 8\}$
• $\mathrm{D}(9) = \{1, 3, 9\}$
• $\mathrm{D}(10) = \{1, 2, 5, 10\}$
• $\mathrm{D}(11) = \{1, 11\}$
• $\mathrm{D}(12) = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$
• $\vdots$

Observe que, exceto $\mathrm{D}(0)$, todos os demais conjuntos D são finitos. Além disso, temos que a unidade e $n$ pertencem a todo $\mathrm{D}(n)$ e que não há no conjunto elemento maior que o próprio $n$.

• $1 \in \mathrm{D}(n)$
• $n \in \mathrm{D}(n)$

MDC

O máximo divisor comum de dois números naturais $a$ e $b$ é igual ao maior elemento positivo pertencente a ambos os conjuntos $\mathrm{D}(a)$ e $\mathrm{D}(b)$.

Sejam $a = 12$ e $b = 18$, por exemplo:

• o conjunto dos divisores de 12 é $\mathrm{D}(12) = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$;
• o conjunto dos divisores de 18 é $\mathrm{D}(18) = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$;
• o conjunto dos divisores comuns de 12 e 18 é $\mathrm{D}(12) \cap \mathrm{D}(18) = \{1, 2, 3, 6\}$;
• o maior número positivo desse conjunto de divisores comuns é $\operatorname{mdc}(12, 18) = 6$.

Essa operação possui as propriedades comutativa e associativa:

Além delas, é importante observar que, se $a \neq 0$, então:

No caso de o número $a$ ser múltiplo do número $b$:

Quando o único divisor comum entre dois números naturais $a$ e $b$ é a unidade, dizemos que $a$ e $b$ são números primos entre si ou primos relativos um ao outro.

Sejam $a = 9$ e $b = 10$, por exemplo:

• o conjunto dos divisores de 9 é $\mathrm{D}(9) = \{1, 3, 9\}$;
• o conjunto dos divisores de 10 é $\mathrm{D}(10) = \{1, 2, 5, 10\}$;
• o conjunto dos divisores comuns de 9 e 10 é $\mathrm{D}(9) \cap \mathrm{D}(10) = \{1\}$;
• o único elemento desse conjunto de divisores comuns é $\operatorname{mdc}(9, 10) = 1$.

Portanto, 9 e 10 são números primos entre si.

MMC

O mínimo múltiplo comum de dois números naturais $a$ e $b$ é igual ao menor elemento positivo pertencente a ambos os conjuntos $\mathrm{M}(a)$ e $\mathrm{M}(b)$.

Sejam $a = 12$ e $b = 18$, por exemplo:

• o conjunto dos múltiplos de 12 é $\mathrm{M}(12) = \{0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, \ldots\}$;
• o conjunto dos múltiplos de 18 é $\mathrm{M}(18) = \{0, 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, \ldots\}$;
• o conjunto dos múltiplos comuns de 12 e 18 é $\mathrm{M}(12) \cap \mathrm{M}(18) = \{0, 36, 72, 108, \ldots\}$;
• o menor número positivo desse conjunto de múltiplos comuns é $\operatorname{mmc}(12, 18) = 36$.

Essa operação possui as propriedades comutativa e associativa:

Além delas, é importante observar que:

No caso de o número $a$ ser múltiplo do número $b$:

No caso de $a$ e $b$ serem números primos entre si:

Exercício resolvido 6

Marcos pegou um caderno quadriculado e com uma régua uniu os vértices opostos de um retângulo de seis por quatro unidades, verificando que o segmento traçado passava sobre um único ponto da malha quadriculada situada no interior do retângulo, como mostra a figura:

Se Marcos tivesse unido os vértices opostos de um retângulo de quinze por vinte unidades, o segmento traçado passaria por exatamente quantos pontos da malha quadriculada situada no interior desse retângulo?

1. 2
2. 3
3. 4
4. 5
5. 6

Exercício resolvido 7

Marina, irmã de Marcos, também tomou um retângulo de seis por quatro unidades do caderno quadriculado, mas fez um traçado diferente. Partindo do vértice inferior esquerdo do retângulo, ela traçou uma linha reta sobre as diagonais dos quadrados até que essa linha atingisse um dos limites laterais do retângulo. Quando isso aconteceu, ela mudou a direção de seu traçado, mantendo-o sempre sobre as diagonais dos quadrados no interior do retângulo, até atingir outro vértice desse retângulo, como mostra a figura:

Depois que Marina terminou seu desenho, ela verificou que havia traçado as diagonais de exatamente doze quadrados da malha. Se tivesse procedido dessa forma num retângulo de quinze por vinte unidades, ela teria traçado as diagonais de exatamente:

1. 30 quadrados da malha.
2. 40 quadrados da malha.
3. 45 quadrados da malha.
4. 50 quadrados da malha.
5. 60 quadrados da malha.

Divisão sem resto em $\mathbb{N}$

Quando um número $a$ é múltiplo de um número $b$, o resto da divisão de $a$ por $b$ é nulo. Nesse caso, pode-se representar o quociente da divisão como $(a : b)$.

• $a$ é múltiplo de $b$ $\Rightarrow (a : b) \in \mathbb{N}$
• $a$ não é múltiplo de $b$ $\Rightarrow (a : b) \notin \mathbb{N}$

Trata-se de uma operação não comutativa, pois, se $a > b$, então $b$ não é múltiplo de $a$, o que torna impossível o quociente $(b : a)$ no conjunto dos números naturais.

Também não é uma operação associativa, uma vez que $a : (b : c) \neq (a : b) : c$.

As propriedades a seguir servem para contornar essa desigualdade:

• $a : b : c = (a : b) : c = a : (b \cdot c)$
• $a : (b : c) = (a \cdot c) : b$

A unidade funciona como elemento neutro dessa divisão apenas no lugar do divisor:

• $a : 1 = a$

A unidade também é o resultado de um número positivo dividido por ele mesmo:

• $a > 0 \Rightarrow a : a = 1$

A divisão é a operação inversa da multiplicação. Isso significa que, sendo $a$, $b$ e $c$ números naturais:

Números primos e números compostos

Um número natural é considerado primo absoluto ou simplesmente número primo se, e somente se, possuir exatamente dois divisores naturais distintos. Assim:

• O número 0 não é primo, pois possui infinitos divisores naturais. $\mathrm{D}(0) = \mathbb{N}$.
• O número 1 também não é primo, pois possui apenas um divisor natural. $\mathrm{D}(1) = \{1\}$.
• O número 2 é primo, pois possui exatamente dois divisores naturais. $\mathrm{D}(2) = \{1, 2\}$.
• O número 3 também é primo, pois possui exatamente dois divisores naturais. $\mathrm{D}(3) = \{1, 3\}$.
• O número 4 não é primo, pois possui três divisores naturais. $\mathrm{D}(4) = \{1, 2, 4\}$.
• O número 5 é primo, pois possui exatamente dois divisores naturais. $\mathrm{D}(5) = \{1, 5\}$.
• O número 6 não é primo, pois possui quatro divisores naturais. $\mathrm{D}(6) = \{1, 2, 3, 6\}$.
• $\vdots$

Os números naturais que possuem mais de dois divisores são chamados de compostos. Assim, de acordo com a quantidade de divisores, os números naturais podem ser classificados em três categorias:

• Números que não são primos nem são compostos: 0 e 1.
• Números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, …
• Números compostos: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, …

Se $n > 1$, então $n$ é primo ou composto.

Se um número natural $p > 1$ é primo, então seus dois únicos divisores naturais são o número 1 e o próprio número $p$:

• $p$ é primo $\Rightarrow \mathrm{D}(p) = \{1, p\}$

Se um número natural $n$ é resultado do produto de dois números primos diferentes $p_1$ e $p_2$, então os divisores desse número são:

• $n = p_1 \cdot p_2 \Rightarrow \mathrm{D}(n) = \{1, p_1, p_2, n\}$

Essa e outras características dos números primos e compostos são de grande utilidade para a ciência da criptografia, tão necessária nos dias de hoje.

O teorema fundamental da Aritmética garante que todo número composto é resultado do produto de uma única combinação de números primos. É fácil perceber que $2 \cdot 2$ e $2 \cdot 3$ são as únicas combinações de fatores que resultam em 4 e 6, mas pense em um número maior, como 3 628 800. O fato de $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7$ ser a única sucessão crescente de fatores primos que resulta em 3 628 800 é mais difícil de se verificar.

Critérios de divisibilidade

Em alguns casos, pode-se perceber que um número composto é divisível por um número primo, mesmo sem efetuar a divisão euclidiana.

Observando o valor do algarismo das unidades de um número natural, verifica-se se ele é divisível por 2 ou 5:

• Números cujo último algarismo é 2, 4, 6, 8 ou 0 são divisíveis por 2.
• Números cujo último algarismo é 5 ou 0 são divisíveis por 5.

Observando a soma dos algarismos de um número natural, verifica-se se ele é divisível por 3. Números cuja soma dos algarismos é 3, 6 ou 9 são divisíveis por 3. Se a soma dos algarismos for maior que 9, então, os algarismos do resultado devem ser somados novamente, e assim sucessivamente, até que o resultado tenha apenas um algarismo. Pode-se perceber que o número 3 628 800 é múltiplo de 3, por exemplo, pois:

Subtraindo e somando, alternadamente e nessa ordem, os algarismos de um número natural, verifica-se se ele é divisível por 11 quando o resultado final dessas operações é zero e, caso este resultado seja maior que 9, então as operações alternadas devem ser feitas novamente, até que o resultado tenha apenas um algarismo. Exemplos:

• 2 453 é múltiplo de 11, pois $2 - 4 + 5 - 3 = 0$.
• 64 589 não é múltiplo de 11, pois $6 - 4 + 5 - 8 + 9 = 8$.
• 7 092 954 é múltiplo de 11, pois $7 - 0 + 9 - 2 + 9 - 5 + 4 = 22$ e $2 - 2 = 0$.

Também é possível perceber se um número composto é divisível por outro número composto, sem efetuar a divisão euclidiana. Exemplos:

• Números que terminam com 0 são sempre divisíveis por 10.
• Números cuja metade termina com 2, 4, 6, 8 ou 0 são sempre divisíveis por 4.
• Números cuja soma dos algarismos é igual a 9 são sempre divisíveis por 9. Se a soma dos algarismos for maior que 9, então os algarismos do resultado devem ser somados novamente, e assim sucessivamente, até que o resultado tenha apenas um algarismo.

Além disso, se um número natural $n$ é divisível por dois números $a$ e $b$ que são primos entre si, ou seja, tais que $\operatorname{mdc}(a, b) = 1$, então $n$ também é divisível pelo produto $(a \cdot b)$. Exemplos:

• Números que são divisíveis por 2 e por 3 também são divisíveis por $2 \cdot 3 = 6$.
• Números que são divisíveis por 3 e por 4 também são divisíveis por $3 \cdot 4 = 12$.
• Números que são divisíveis por 3 e por 5 também são divisíveis por $3 \cdot 5 = 15$.
• Números que são divisíveis por 2, por 3 e por 5 também são divisíveis por $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.

Nos casos em que $\operatorname{mdc}(a, b) > 1$, essa propriedade não se verifica. Veja o exemplo do número $n = 20$, que é divisível por $a = 4$ e por $b = 10$, mas não é divisível por $a \cdot b = 4 \cdot 10 = 40$:

• $\mathrm{D}(20) = \{1, 2, 4, 5, 10, 20\}$

Decomposição em fatores primos

Todo número composto $n$ pode ser decomposto em fatores primos efetuando-se sucessivas divisões sem resto por cada número primo do qual seja múltiplo, tantas vezes quantas forem possíveis. O número 3 628 800, por exemplo, pode ser dividido por 2 oito vezes sucessivas. Depois, o resultado dessas divisões pode ser dividido por 5 duas vezes sucessivas, depois, por 3 mais quatro vezes e finalmente por 7, até que o quociente final seja unitário. Observe a decomposição do número 3 628 800:

Nessa decomposição, por exemplo, também pode-se efetuar as divisões por 3 antes das divisões por 5, mas o fato é que a ordem dos fatores primos não importa, pois a multiplicação é uma operação comutativa. Desse modo, podemos efetuar as divisões como preferirmos, considerando, por exemplo, uma identificação mais rápida dos critérios de divisibilidade.

O algoritmo da decomposição tem duas colunas. A coluna da esquerda começa com o número a ser decomposto e segue com os quocientes das divisões até que o resultado seja igual a 1, e na coluna da direita escrevem-se os números primos que são os divisores no algoritmo.

Como o penúltimo número da coluna da esquerda sempre será um número primo, e ele pode ser relativamente grande, é recomendável que se tenha um bom repertório de números primos memorizados.

Os números primos menores, que possuem apenas um algarismo, são 2, 3, 5 e 7.

O quadro a seguir mostra a distribuição dos números primos de dois algarismos:

Números fatoriais

Chamamos os números que resultam do produto entre os primeiros números naturais positivos de números fatoriais. Indica-se o fatorial de um número natural $n$ usando-se um ponto de exclamação (!).

Assim:

• $1! = 1$
• $2! = 1 \cdot 2 = 2$
• $3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$
• $4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$
• $5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$

E para todo $n > 5$:

Os números fatoriais maiores que 2 tendem a possuir muitos divisores. Comparando-se dois números fatoriais diferentes, pode-se afirmar que, se $a! > b!$, então:

• $a!$ é múltiplo de $b!$
• $b!$ é divisor de $a!$
• $\operatorname{mmc}(a!, b!) = a!$
• $\operatorname{mdc}(a!, b!) = b!$

Potenciação

A operação de potenciação é aplicada a apenas dois números naturais de cada vez. Os números que participam da potenciação são a base e o expoente. O resultado é chamado de potência.

Sendo $b$ um número natural qualquer, a operação de potenciação começa a ser definida pelas seguintes proposições:

• $b^0 = 1$
• $b^1 = b$

A primeira sentença define que toda base elevada ao expoente zero resulta no número 1, e a segunda define que o número 1 funciona como expoente neutro.

Representando por $n'$ o sucessor de outro número natural $n$, fica definido que:

Também é possível definir a potência de base $b$ e expoente $n$ como o resultado da multiplicação sucessiva do número 1 por $n$ fatores iguais a $b$:

Exemplos:

• $3^2 = 1 \cdot \underbrace{3 \cdot 3}_{2 \text{ fatores}} = 9$
• $2^3 = 1 \cdot \underbrace{2 \cdot 2 \cdot 2}_{3 \text{ fatores}} = 8$

Esses exemplos mostram que a potenciação não é uma operação comutativa, ou seja, $a^b \neq b^a$ com apenas uma exceção em $\mathbb{N}$: $a = 2$ e $b = 4$.

A potenciação tem propriedade distributiva em relação às operações de multiplicação e divisão:

• $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$
• $(a : b)^n = a^n : b^n$

O produto de potências de mesma base é obtido conservando-se a base e adicionando-se os expoentes:

• $b^n \cdot b^m = b^{n + m}$

O quociente de potências de mesma base é obtido conservando-se a base e subtraindo-se os expoentes:

• $b^n : b^m = b^{n - m}$

A potenciação é usada para abreviar a notação decomposta de um número natural, como 3 628 800, por exemplo, cujos fatores são $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7$. Na forma abreviada pela potenciação, esse número fica expresso por $2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7$.

Quadrados perfeitos e cubos perfeitos

Devido ao seu uso no cálculo de áreas e volumes, as potências de expoentes 2 e 3 são também chamadas de “quadrados” e “cubos”, respectivamente.

• A segunda potência de uma base $b$ é indicada por $b^2$ e pode ser lida como “$b$ ao quadrado”.
• A terceira potência de uma base $b$ é indicada por $b^3$ e pode ser lida como “$b$ ao cubo”.

Com estes termos podem ser definidos dois importantes subconjuntos dos números naturais:

• O conjunto dos quadrados perfeitos $= \{n^2 \mid n \in \mathbb{N}\}$
• O conjunto dos cubos perfeitos $= \{n^3 \mid n \in \mathbb{N}\}$

Radiciação e logaritmos em $\mathbb{N}$

A operação de radiciação ou extração de raízes é aplicada a apenas dois números naturais de cada vez. Os números que participam da radiciação são o índice do radical e o radicando. O resultado é chamado de raiz.

O índice do radical designa a ordem da radiciação, e o radicando, o número do qual será extraída a raiz.

Sendo $p$ e $n$ números naturais, a notação radical $\sqrt[n]{p}$ só é possível nesse conjunto se o número $p$ for a $n$-ésima potência de algum número natural $m$, de modo que a radiciação se presta como uma das operações contrárias da potenciação:

O número 1 funciona como elemento neutro no lugar do índice do radical, de modo que a primeira raiz de um número natural é igual a ele mesmo, ou seja, $\sqrt[1]{p} = p$.

Quando o índice do radical é igual a 2, ele pode ser omitido, ou seja, $\sqrt[2]{q} = \sqrt{q}$. A segunda raiz de um número é denominada sua raiz quadrada, e os únicos números que possuem raiz quadrada natural são os quadrados perfeitos.

A terceira raiz de um número é denominada sua raiz cúbica, e os únicos números que possuem raiz cúbica natural são os cubos perfeitos.

A radiciação não é uma operação associativa e nem comutativa, mas possui propriedade distributiva em relação à multiplicação e à divisão:

• $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$
• $\sqrt[n]{a : b} = \sqrt[n]{a} : \sqrt[n]{b}$

Além dessas propriedades, também é fato que:

• $\sqrt[n]{\sqrt[m]{p}} = \sqrt[n \cdot m]{p}$

A extração de logaritmos é aplicada a apenas dois números naturais de cada vez. Os números que participam dessa operação são o logaritmando e a base. O resultado é chamado de logaritmo.

Dada uma base $b$, os únicos números do conjunto $\mathbb{N}$ que possuem logaritmos nessa base são as potências de $b$, ou seja, os números do conjunto $\{1, b, b^2, b^3, b^4, \ldots\}$.

O logaritmo também se presta como operação inversa da potenciação:

A extração de logaritmos não é uma operação associativa nem comutativa, mas possui uma série de propriedades importantes, que serão estudadas em outra ocasião. Veja alguns exemplos comparando resultados de potenciações às suas duas operações contrárias: a extração de raízes e de logaritmos.

Os números inteiros

O conjunto $\mathbb{Z}$ dos números inteiros extrapola o conceito de número natural admitindo a existência de números cardinais menores que zero, denominados inteiros negativos. Com isso, os números naturais maiores que zero passam a ser chamados de inteiros positivos.

Nesse conjunto, o zero é o único número que não é positivo nem negativo. Os números inteiros negativos são obrigatoriamente precedidos pelo sinal $(-)$, e os números positivos podem ser precedidos pelo sinal $(+)$ ou sem sinal algum.

Um dos principais subconjuntos de $\mathbb{Z}$ é o conjunto dos números inteiros não nulos:

Esse subconjunto dos números inteiros também apresenta características ordinais, pois não possui o zero. Desse modo, pode-se contar em dois sentidos opostos, como se faz no ocidente para numerar os séculos da história, por exemplo. Os séculos negativos são indicados por a.C., os positivos, por d.C., e não há o século zero.

Além dos inteiros não nulos, outros quatro subconjuntos de $\mathbb{Z}$ merecem atenção.

• O conjunto dos números inteiros positivos:

  $$\mathbb{Z}^*_+ = \{+1, +2, +3, +4, +5, +6, \ldots\}$$

• O conjunto dos números inteiros negativos:

  $$\mathbb{Z}^*_- = \{-1, -2, -3, -4, -5, -6, \ldots\}$$

• O conjunto dos números inteiros não negativos:

  $$\mathbb{Z}_+ = \{0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, \ldots\}$$

• O conjunto dos números inteiros não positivos:

  $$\mathbb{Z}_- = \{0, -1, -2, -3, -4, -5, -6, \ldots\}$$

Oposto do número natural

Cada número inteiro negativo é concebido como o oposto, ou simétrico, de um número natural e o sinal $(-)$ indica essa oposição. Assim:

• $-1$ indica o oposto do número 1;
• $-2$ indica o oposto do número 2;
• $-3$ indica o oposto do número 3;
• $\vdots$
• $-n$ indica o oposto do número $n$.

Em $\mathbb{Z}$, o único número que não possui oposto é o número zero.

A relação de oposição é dual. Isso significa não haver uma terceira opção para essa relação, de modo que os opostos dos números inteiros negativos sejam os números positivos. Assim:

• 1 indica o oposto do número $-1$;
• 2 indica o oposto do número $-2$;
• 3 indica o oposto do número $-3$;
• $\vdots$
• $n$ indica o oposto do número $-n$.

Portanto, o oposto do oposto de um número $n$ deve ser o próprio número $n$, ou seja, $-(-n) = n$. Perceba que todas essas afirmações são válidas para qualquer sinal de $n$.

Orientação ordinal

Entre as contribuições proporcionadas pelo advento dos números negativos está a ampliação do aspecto ordinal do número que adquire dupla orientação em relação a uma referência original, que pode ser espacial, temporal etc.

Veja o exemplo da escala Celsius de temperatura, em que o número zero é fixado como a temperatura de congelamento da água e as temperaturas mais frias são designadas por graus negativos, enquanto as mais quentes, por graus positivos, de modo que cada grau negativo corresponda à mesma variação de temperatura que cada grau positivo, mas em outro sentido.

No conjunto $\mathbb{Z}$, o número zero é sucessor do número $-1$ que, por sua vez, é o sucessor do número $-2$, e assim por diante. Nesse conjunto todo elemento possui um sucessor e um antecessor.

Módulo de um número inteiro

Todo número ordinal $n$ está associado a dois números inteiros distintos, $+n$ e $-n$, de modo que entre eles esteja o número zero e exatamente a mesma quantidade de números positivos e negativos.

Em contrapartida, eliminando a orientação positiva/negativa de dois números inteiros opostos, obtém-se sempre o mesmo número ordinal. Chamamos de módulo de um número inteiro, ou valor absoluto de um número inteiro, o número natural que se obtém ao eliminar o sinal de um número inteiro. O módulo é representado por duas barras verticais, assim, o módulo do número $a$ é indicado por $|a|$.

• $|+1| = |-1| = 1$
• $|+2| = |-2| = 2$
• $|+3| = |-3| = 3$
• $\vdots$

Operações com números inteiros

O conjunto $\mathbb{Z}$ é fechado em relação às operações de adição, subtração e multiplicação. Assim, sendo $a$ e $b$ dois números inteiros quaisquer:

Outras operações entre números inteiros, como a potenciação, por exemplo, podem gerar resultados que escapam desse conjunto.

Adição em $\mathbb{Z}$

No conjunto $\mathbb{Z}$, a adição admite todas as propriedades que a definem no conjunto $\mathbb{N}$. A novidade é a existência de opostos aditivos, ou seja, pares de números cuja soma resulte no elemento neutro da operação: o número zero.

• $-1 + 1 = 0$
• $-2 + 2 = 0$
• $-3 + 3 = 0$
• $\vdots$
• $-n + n = 0$

A soma de dois números inteiros $a$ e $b$ de mesmo sinal tem o mesmo sinal das parcelas.

A soma de dois números positivos equivale à soma de dois números naturais. Exemplo:

A soma de dois números negativos é negativa, sendo que seu módulo é igual à soma dos módulos das parcelas. Exemplo:

Para efetuar a adição de dois números inteiros com sinais diferentes, é necessário verificar qual deles possui o maior módulo. O sinal do número de maior módulo será o sinal da soma, e o módulo da soma será igual à diferença absoluta dos módulos das parcelas. Observe:

• $(-3) + (+5) = +2$
• $(+3) + (-5) = -2$
• $(-5) + (+3) = -2$
• $(+5) + (-3) = +2$

Eliminando o sinal das parcelas, ficamos com os números 3 e 5, cuja diferença absoluta é de 2 unidades. Então, como $5 > 3$, o resultado final fica com o mesmo sinal da parcela 5.

Subtração em $\mathbb{Z}$

Cada número negativo em si pode ser tomado como o resultado da subtração de minuendo zero e algum subtraendo natural. Observe que:

• $-3 = 0 - 3$
• $-11 = 0 - 11$

Mas, de forma prática, no conjunto $\mathbb{Z}$ a subtração também pode ser interpretada como uma adição, desde que se tome para a segunda parcela o valor oposto ao subtraendo.

• $(-3) - (+5) = (-3) + (-5) = -8$
• $(+3) - (-5) = (+3) + (+5) = +8$
• $(-5) - (+3) = (-5) + (-3) = -8$
• $(+5) - (-3) = (+5) + (+3) = +8$

A subtração não é uma operação comutativa, por isso $(a - b)$ é diferente de $(b - a)$ quando $a$ e $b$ são números inteiros diferentes um do outro. Os valores de $(a - b)$ e $(b - a)$ são opostos, ou seja, $(a - b) = -(b - a)$.

Observando o fato de esses valores terem o mesmo módulo, pode-se concluir que a diferença absoluta de dois números inteiros é uma operação comutativa:

Multiplicação em $\mathbb{Z}$

A operação de multiplicação de números inteiros admite todas as propriedades que a definiram no conjunto $\mathbb{N}$, além das seguintes regras de sinal:

Efetuando a multiplicação de números inteiros, observa-se que o módulo do produto é igual ao produto dos módulos dos fatores:

E, além disso, que:

• O produto de dois números inteiros de mesmo sinal é sempre positivo.
• O produto de dois números inteiros de sinais contrários é sempre negativo.

Divisão sem resto em $\mathbb{Z}$

Neste conjunto numérico também acontece de um número $a$ ser múltiplo de um número $b$. Nesse caso, o resto da divisão é nulo e pode-se representar o quociente da divisão como $(a : b)$, em que vale a mesma regra de sinais da multiplicação:

Máximo divisor comum (mdc) e mínimo múltiplo comum (mmc)

Com a inclusão dos números negativos, os conjuntos dos múltiplos e dos divisores de um número adquirem novos elementos.

O conjunto dos divisores de 12, por exemplo, é igual ao conjunto dos divisores de $-12$:

Assim como o conjunto dos divisores de 18 é igual ao conjunto dos divisores de $-18$:

O conjunto dos múltiplos de $-12$ é igual ao conjunto dos múltiplos de 12:

Assim como o conjunto dos múltiplos de $-18$ é igual ao conjunto dos múltiplos de 18:

O máximo divisor comum de dois números inteiros segue a mesma definição dada no conjunto dos números naturais, pois os números positivos são maiores que os negativos.

Por conveniência, toma-se o mínimo múltiplo comum de números inteiros como um valor positivo, quaisquer que sejam os sinais dos números envolvidos. Observe que, se os múltiplos negativos fossem incluídos como possibilidade para o mmc, a definição desta operação não encontraria resultado algum, pois o conjunto dos múltiplos inteiros de qualquer número diferente de zero decresce infinitamente.

• $\operatorname{mdc}(-18, -12) = \operatorname{mdc}(18, -12) = \operatorname{mdc}(-18, 12) = \operatorname{mdc}(18, 12) = +6$
• $\operatorname{mmc}(-18, -12) = \operatorname{mmc}(18, -12) = \operatorname{mmc}(-18, 12) = \operatorname{mmc}(18, 12) = +36$