Sentenças matemáticas e modelagens algébricas – Matemática (Matemática I, cap. 2)

Ideias matemáticas estão presentes em praticamente todos os momentos do dia. Podemos enxergar formas e padrões em diversos contextos e, até intuitivamente, criamos proporções e equações que nos possibilitam lidar com diversas situações corriqueiras, como analisar a quantidade de ingredientes de uma receita e querer dobrá-la ou mesmo estimar o gasto total a partir do custo de cada item. Muitas situações são transformadas em “problemas” nos vestibulares, não havendo um método formal específico ou um roteiro para resolvê-los. O sucesso reside na interpretação e na compreensão adequadas do enunciado, bem como em um conhecimento algébrico capaz de solucionar o problema proposto.

Sentenças matemáticas

Uma sentença matemática é composta de entes matemáticos, representando relações que podem ser de igualdade, desigualdade, equivalência, identidade, entre outras. Exemplos:

$2 + 7 = 4 + 5$
$x - 3 = 6 - 2x$
$x = 0$
$x + 4 > 3$
$(x + 2)^2 \equiv x^2 + 4x + 4$
$y = x + 1$

Sentenças matemáticas fechadas

As sentenças matemáticas fechadas são expressões aritméticas em que todos os valores numéricos são conhecidos. Elas não apresentam variáveis, parâmetros ou qualquer tipo de incógnita.

Existem apenas dois tipos de sentenças matemáticas fechadas: as verdadeiras e as falsas.

$2 = 2$ (Verdadeira)
$3 = 2$ (Falsa)
$4 + 4 \cdot (4 - 4) < 4$ (Falsa)

Sentenças matemáticas abertas

As sentenças matemáticas abertas são obtidas a partir das sentenças fechadas, “mascarando-se” um ou mais de seus valores numéricos com termos algébricos representados por letras como $x$ ou $y$ .

Quando nos deparamos com uma sentença matemática aberta, não sabemos a princípio se ela foi obtida de uma sentença fechada verdadeira ou falsa. Então, os valores dos termos algébricos da sentença dependem apenas da sua natureza numérica: ordinal, cardinal, inteira, racional, real, positiva ou negativa. Isto é o que chamamos de domínio de uma variável.

Pode causar estranheza a alguns o fato de que a sentença aberta $x = 3$ , por exemplo, pode ter sido obtida da sentença fechada $2 = 3$ , que é evidentemente falsa.

É importante estar ciente de que estamos procurando a solução do problema, e não da última sentença aberta que escrevemos na tentativa de resolvê-lo. Por isso, recomenda-se, sempre que possível, substituir a variável da equação original pelos valores que encontramos a fim de verificar a veracidade da solução.

Algumas dessas sentenças abertas são chamadas de equações. As equações expressam perguntas e, portanto, devem ser lidas como tal. É como se a equação quisesse saber: “Que valores me tornam verdadeira?” ou “Que valores me tornam falsa?”.

Respondemos às perguntas expressas pelas equações, escrevendo o seu conjunto verdade, também conhecido como conjunto solução. O conjunto solução de uma equação deve possuir todos os valores da variável que a tornam verdadeira e apenas eles. Assim, pode-se dizer que resolver uma equação é escrever o seu conjunto solução. Exemplos:

$x = 2 \Rightarrow S = \{2\}$
$x^2 = 2x \Rightarrow S = \{0, 2\}$
$x^3 = 4x \Rightarrow S = \{-2, 0, 2\}$

As sentenças abertas nos exemplos anteriores são chamadas de equações polinomiais do 1^o, 2^o e 3^o graus, respectivamente.

Saiba mais

O teorema fundamental da Álgebra garante que o número de soluções de uma equação polinomial nunca ultrapassa o grau da equação. Assim, uma equação de quarto grau, por exemplo, possui no máximo quatro soluções. Essa quantidade de soluções varia de acordo com as restrições (implícitas ou explícitas) impostas ao seu domínio. Por exemplo, uma equação do tipo $x^3 = 4x$ teria apenas duas soluções, se limitada ao conjunto dos números naturais, e três soluções se não houvesse essa restrição, considerando-se, assim, o conjunto mais amplo possível. Mas também existem outros tipos de equações não polinomiais, como as exponenciais, as irracionais e as trigonométricas. Nesses casos, não se aplica o teorema fundamental para prever o número de soluções.

O que todas as equações têm em comum é o fato de expressarem perguntas cujas respostas são os valores numéricos que as tornam sentenças matemáticas fechadas e verdadeiras.

Se uma equação é expressa por uma sentença aberta impossível, então o conjunto solução da equação é vazio. Exemplos:

5^x = -1 \Rightarrow S = \varnothing

Essa equação exponencial é impossível no universo dos números reais, pois a base (5) é um número positivo e a potência ( $-1$ ) é um número negativo e, na operação de potenciação, bases positivas geram apenas potências positivas, qualquer que seja o expoente da operação, no caso representado por $x$ .

\frac{1}{x} = 0 \;\Rightarrow\; S = \varnothing

Essa equação também é impossível, pois o numerador da fração é o número 1 e, para uma fração representar o número zero, é necessário que seu numerador seja zero também.

Veja alguns exemplos de tipos de equações e seus respectivos conjuntos solução, no universo real:

Equação irracional: $\sqrt[3]{2x + 7} = 3 \;\Rightarrow\; S = \{10\}$
Equação logarítmica: $\log x = 2 \Rightarrow S = \{100\}$
Equação quociente: $\dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 2x} = 0 \;\Rightarrow\; S = \{-2\}$
Equação polinomial: $(x - 1)(x^2 - 3x)(x^2 - 4) = 0 \Rightarrow S = \{-2, 0, 1, 2, 3\}$
Equação modular: $|x - 3| = 1 \Rightarrow S = \{2, 4\}$
Equação composta: $(x^2 - 4x + 4)^{x - 2} = 1 \Rightarrow S = \{1, 2, 3\}$
Equação trigonométrica: $\cos x = -1 \Rightarrow S = \{x \in \mathbb{R} \text{ tal que } x = \pi + 2k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\}$

Se uma equação é expressa por uma sentença aberta que é sempre verdadeira, então o conjunto solução da equação é o próprio conjunto dos números reais. Exemplos:

$x + x = 2x \Rightarrow S = \mathbb{R}$
$x - x = 0 \Rightarrow S = \mathbb{R}$
$x \cdot x = x^2 \Rightarrow S = \mathbb{R}$
$\sen^2 x + \cos^2 x = 1 \Rightarrow S = \mathbb{R}$

Equações $\times$ identidades

Observe que a sentença matemática aberta a seguir não se encaixa na categoria de equação polinomial, pois, segundo o teorema fundamental da Álgebra, nenhuma equação polinomial do 2^o grau admite três soluções distintas:

\begin{array}{ccccc} (x + 1)^2 & - & 2x & = & x^2 + 1 \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \end{array}

\begin{align*} x = 0 &\Rightarrow (0 + 1)^2 - 2 \cdot 0 = 0^2 + 1 \text{ (verdadeiro)} \Rightarrow 0 \in S \\ x = 3 &\Rightarrow (3 + 1)^2 - 2 \cdot 3 = 3^2 + 1 \text{ (verdadeiro)} \Rightarrow 3 \in S \\ x = 5 &\Rightarrow (5 + 1)^2 - 2 \cdot 5 = 5^2 + 1 \text{ (verdadeiro)} \Rightarrow 5 \in S \end{align*}

A expressão $\boldsymbol{(x + 1)^2 - 2x = x^2 + 1}$ é uma sentença matemática que, embora aberta, é verdadeira para qualquer valor da variável $x$ . As sentenças abertas desse tipo expressam fatos aritméticos e são chamadas de identidades.

Mas, se quisermos tratar a sentença do exemplo acima como uma equação e determinar seu conjunto solução, este será o próprio domínio da variável:

(x + 1)^2 - 2x = x^2 + 1 \;\Rightarrow\; S = \mathbb{R}

As identidades são todas as sentenças matemáticas abertas que expressam uma relação de igualdade verdadeira para todos os valores de suas variáveis, desde que estejam de acordo com as condições de existência da expressão. O símbolo ( $=$ ) é usado para expressar as relações de igualdade algébricas, sejam elas perguntas (equações) ou fatos (identidades), enquanto o símbolo ( $\equiv$ ) só deve ser usado numa identidade. Assim, percebendo-se que uma sentença aberta indicada com o símbolo ( $=$ ) é uma identidade, podemos trocar sua relação de igualdade pelo símbolo ( $\equiv$ ), deixando claro que a sentença não deve ser tratada como uma pergunta, mas como um fato.

Exemplos:

$x^2 \equiv x \cdot x$
$(x^2 - 9)(x + 2) \equiv x^3 + 2x^2 - 9x - 18$

Se tratadas como equações, as sentenças terão conjunto solução $\mathbb{R}$ . Porém, existem identidades que possuem exceções no conjunto dos números reais e são relativas às condições de existência de suas expressões.

As identidades a seguir, por exemplo, são válidas apenas se $x \neq 0$ :

$\dfrac{x^2 + 4}{2x} \equiv \dfrac{x}{2} + \dfrac{2}{x}$
$\log(x^2) \equiv 2\log|x|$

Algumas técnicas de manipulação de identidades

As técnicas algébricas que serão discutidas agora mostram estratégias para resolver equações oriundas ou não de problemas com enunciados limitados a termos matemáticos. Também são úteis para lidar com situações-problema cujas soluções exigem a tradução do enunciado para uma linguagem ou forma matemática.

Um exemplo de técnica algébrica é a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e à subtração:

Quadro da propriedade distributiva com setas vermelhas ligando o fator externo a cada termo entre parênteses: A · (B + C) ≡ A · B + A · C; (B + C) · A ≡ B · A + C · A; A · (B − C) ≡ A · B − A · C; (B − C) · A ≡ B · A − C · A; (A + B) · (X + Y) ≡ A · (X + Y) + B · (X + Y) ≡ A · X + A · Y + B · X + B · Y.

Exercício resolvido 1

Efetue o produto dos polinômios $Q(x) = x^3 + 4x^2 + 3x - 2$ e $D(x) = x^2 + 5x - 1$ .

Além da propriedade distributiva, os produtos notáveis e a fatoração algébrica são técnicas de formação de identidades matemáticas. A relação entre os produtos notáveis e a fatoração é dual, e se comporta como uma via de mão dupla, em que há situações nas quais é necessário expandir os fatores e outras em que é necessário condensá-los.

Produtos notáveis

Ao longo dos desenvolvimentos algébricos notamos que alguns produtos são frequentes e seguem uma lei de formação que dispensa a aplicação da regra ordinária da multiplicação entre polinômios (distributiva).

Esses produtos são denominados produtos notáveis e apresentam importância significativa em identidades de grandiosa aplicação na álgebra.

Para melhor compreensão, vamos dividi-los em casos.

1^o Caso: Quadrado de uma soma

(a + b) \cdot (a + b) = a^2 + ab + ab + b^2

O quadrado de uma soma entre dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo.

Também é possível manipular os produtos notáveis para criar novas identidades algébricas bastante úteis para a resolução de certas questões, como a identidade que relaciona a soma dos quadrados com o quadrado da soma:

\begin{align*} A^2 + B^2 &\equiv (A + B)^2 - 2AB \\ A^2 + B^2 + C^2 &\equiv (A + B + C)^2 - 2(AB + AC + BC) \end{align*}

A soma dos quadrados equivale ao quadrado da soma, menos o dobro da soma dos produtos.

Exemplos:

$(3x + y)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot y + y^2 = 9x^2 + 6xy + y^2$
$\left(\dfrac{3a}{2} + b^2\right)^2 = \left(\dfrac{3a}{2}\right)^2 + 2 \cdot \dfrac{3a}{2} \cdot b^2 + (b^2)^2 = \dfrac{9a^2}{4} + 3ab^2 + b^4$
$\left(\dfrac{3m^2}{5} + \dfrac{5n^3}{2}\right)^2 = \left(\dfrac{3m^2}{5}\right)^2 + 2 \cdot \dfrac{3m^2}{5} \cdot \dfrac{5n^3}{2} + \left(\dfrac{5n^3}{2}\right)^2 = \dfrac{9m^4}{25} + 3m^2n^3 + \dfrac{25n^6}{4}$

2^o Caso: Quadrado de uma diferença

(a - b) \cdot (a - b) = a^2 - ab - ab + b^2

O quadrado de uma diferença entre dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo.

Exemplos:

$(x - 5y)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5y + (5y)^2 = x^2 - 10xy + 25y^2$
$\left(\dfrac{a}{2} - \dfrac{2b^3}{3}\right)^2 = \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 - 2 \cdot \dfrac{a}{2} \cdot \dfrac{2b^3}{3} + \left(\dfrac{2b^3}{3}\right)^2 = \dfrac{a^2}{4} - \dfrac{2ab^3}{3} + \dfrac{4b^6}{9}$
$(-7 + 3x^2)^2 = (3x^2 - 7)^2 = (3x^2)^2 - 2 \cdot 3x^2 \cdot 7 + 7^2 = 9x^4 - 42x^2 + 49$

O fato de dois termos terem sinal negativo não implica em uma operação de subtração.

3^o Caso: Produto da soma pela diferença

(a + b) \cdot (a - b) = a^2 - ab + ab - b^2

O produto da soma de dois termos pela diferença entre eles é igual ao quadrado do primeiro, menos o quadrado do segundo termo.

Exemplos:

$(2x + 3) \cdot (2x - 3) = (2x)^2 - 3^2 = 4x^2 - 9$
$\left(\dfrac{a^3 b}{3} - \dfrac{1}{a^4}\right) \cdot \left(\dfrac{a^3 b}{3} + \dfrac{1}{a^4}\right) = \left(\dfrac{a^3 b}{3}\right)^2 - \left(\dfrac{1}{a^4}\right)^2 = \dfrac{a^6 b^2}{9} - \dfrac{1}{a^8}$
$\left(\dfrac{m}{5} + \dfrac{1}{2}\right) \cdot \left(\dfrac{m}{5} - \dfrac{1}{2}\right) = \left(\dfrac{m}{5}\right)^2 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{m^2}{25} - \dfrac{1}{4}$

4^o Caso: Produto de Stevin

(x + a) \cdot (x + b) = x^2 + bx + ax + ab

O produto de dois binômios cujos primeiros termos são iguais e os segundos termos desiguais, é igual a um trinômio completo do 2^o grau em que o coeficiente do primeiro termo é a unidade, o coeficiente do segundo termo é a soma algébrica dos termos desiguais e o terceiro termo é o produto dos termos desiguais.

Exemplos:

$(x + 2) \cdot (x + 3) = x^2 + (2 + 3)x + 2 \cdot 3 = x^2 + 5x + 6$
$(a + 7) \cdot (a - 1) = a^2 + (7 - 1)a + 7 \cdot (-1) = a^2 + 6a - 7$
$(m - 12) \cdot (m + 2) = m^2 + (-12 + 2)m + (-12) \cdot 2 = m^2 - 10m - 24$

5^o Caso: Cubo da soma de dois termos

\begin{align*} (a + b) \cdot (a + b) \cdot (a + b) &= (a + b) \cdot (a^2 + 2ab + b^2) = \\ &= a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3 \end{align*}

O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro, mais três vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, mais três vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, mais o cubo do segundo.

Exemplos:

$(x + 2y)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot (2y) + 3 \cdot x \cdot (2y)^2 + (2y)^3 = x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3$
$(5a + c^2)^3 = (5a)^3 + 3 \cdot (5a)^2 \cdot c^2 + 3 \cdot (5a) \cdot (c^2)^2 + (c^2)^3 = 125a^3 + 75a^2c^2 + 15ac^4 + c^6$

Observação: O cubo da soma de dois termos equivale à soma dos cubos mais o triplo do produto desses termos vezes a soma deles.

(A + B)^3 = A^3 + B^3 + 3 \cdot A \cdot B \cdot (A + B)

6^o Caso: Cubo da diferença de dois termos

\begin{align*} (a - b) \cdot (a - b) \cdot (a - b) &= (a - b) \cdot (a^2 - 2ab + b^2) = \\ &= a^3 - 2a^2b + ab^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3 \end{align*}

O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro, menos três vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, mais três vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, menos o cubo do segundo.

Observação: O cubo da diferença de dois termos equivale à diferença dos cubos menos o triplo do produto desses termos vezes a diferença entre eles.

(A - B)^3 = A^3 - B^3 - 3 \cdot A \cdot B \cdot (A - B)

Exemplos:

$(2x - y)^3 = (2x)^3 - 3 \cdot (2x)^2 \cdot y + 3 \cdot (2x) \cdot y^2 - y^3 = 8x^3 - 12x^2y + 6xy^2 - y^3$
$(3a^2 - 2b)^3 = (3a^2)^3 - 3 \cdot (3a^2)^2 \cdot (2b) + 3 \cdot (3a^2) \cdot (2b)^2 + (2b)^3 = 27a^6 - 54a^4b + 36a^2b^2 - 8b^3$

Atenção

Podemos usar a estrutura das combinações para deduzir a sequência dos coeficientes do desenvolvimento geral da expressão $(a + b)^n$ quando $n$ é natural. Essas sequências de coeficientes coincidem com os valores das combinações presentes nas linhas do triângulo de Pascal. É o caso da relação de Stifel (a ser estudada mais detalhadamente no momento apropriado), que diz que todo elemento do triângulo ou é unitário ou pode ser obtido pela soma do termo que se situa acima dele e seu antecessor:

\begin{align*} (a + b)^0 &\equiv 1 \\ (a + b)^1 &\equiv 1a + 1b \\ (a + b)^2 &\equiv 1a^2 + 2ab + 1b^2 \\ (a + b)^3 &\equiv 1a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + 1ab^3 \\ (a + b)^4 &\equiv 1a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + 1b^4 \\ (a + b)^5 &\equiv 1a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + 1b^5 \end{align*}

Alguns dos principais casos de fatoração consistem na simples leitura dos produtos notáveis no sentido oposto ao apresentado, ou seja, do segundo membro para o primeiro membro. O trânsito entre as formas fatorada e distribuída de uma identidade algébrica permite resolver equações, estruturar funções e, principalmente, responder a um teste de forma rápida e correta.

7^o Caso: Quadrado do trinômio

\begin{align*} (a + b + c) \cdot (a + b + c) &= \\ &= a^2 + ab + ac + ab + b^2 + bc + ac + bc + c^2 \end{align*}

O quadrado de um trinômio é igual à soma dos quadrados de cada termo, mais os duplos produtos dos termos considerados dois a dois.

Exemplos:

$(x + y + 3z)^2 = x^2 + y^2 + (3z)^2 + 2 \cdot x \cdot y + 2 \cdot x \cdot 3z + 2 \cdot y \cdot 3z = x^2 + y^2 + 9z^2 + 2xy + 6xz + 6yz$
$(a^2 + 5b^3 + 2c)^2 = (a^2)^2 + (5b^3)^2 + (2c)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot 5b^3 + 2 \cdot a^2 \cdot 2c + 2 \cdot 5b^3 \cdot 2c = a^4 + 25b^6 + 4c^2 + 10a^2b^3 + 4a^2c + 20b^3c$

Saiba mais

O produto de dois polinômios, cujos termos diferem somente nos sinais, equivale ao produto da soma pela diferença de dois termos (3^o caso). Para isso, deve-se tomar como primeiro termo, a soma dos termos que têm os mesmos sinais em ambos os polinômios, e como segundo termo aquele com sinais contrários em cada polinômio.

Exemplos:

$(x + y + z) \cdot (x + y - z) = [(x + y) + z] \cdot [(x + y) - z] = (x + y)^2 - z^2 = x^2 + 2xy + y^2 - z^2$
$(m^2 + 5mn - 3n^2) \cdot (m^2 - 5mn + 3n^2) = [m^2 + (5mn - 3n^2)] \cdot [m^2 - (5mn - 3n^2)] = (m^2)^2 - (5mn - 3n^2)^2 = m^4 - 25m^2n^2 + 30mn^3 - 9n^4$

Saiba mais

Chamamos de canônico o polinômio de grau $n$ na variável $x$ cujos coeficientes são todos unitários:

\phi_n(x) = x^n + x^{n - 1} + x^{n - 2} + \ldots + x^2 + x + 1

Assim, $\phi_1(x) = x + 1$ , $\phi_2(x) = x^2 + x + 1$ , $\phi_3(x) = x^3 + x^2 + x + 1$ e assim por diante. Há duas propriedades relevantes em relação a este polinômio que caracterizam produtos notáveis: a primeira diz respeito ao quadrado de $\phi(x)$ , que resulta num polinômio palíndromo ou recíproco de coeficientes inteiros e consecutivos.

\begin{align*} (x + 1)^2 &\equiv 1x^2 + 2x + 1 \\ (x^2 + x + 1)^2 &\equiv 1x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1 \\ (x^3 + x^2 + x + 1)^2 &\equiv 1x^6 + 2x^5 + 3x^4 + 4x^3 + 3x^2 + 2x + 1 \end{align*}

Mas é a segunda propriedade que mais nos interessa, pois ela estrutura a expressão da soma dos termos de uma progressão geométrica (PG). Afinal os termos de um polinômio canônico formam uma PG de razão $x$ . Quando multiplicamos $\phi_n(x)$ por $(x - 1)$ , obtemos um simples binômio de grau $n + 1$ e termo independente $-1$ .

\begin{align*} (x - 1) \cdot (x + 1) &\equiv x^2 - 1 \\ (x - 1) \cdot (x^2 + x + 1) &\equiv x^3 - 1 \\ (x - 1) \cdot (x^3 + x^2 + x + 1) &\equiv x^4 - 1 \\ (x - 1) \cdot (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) &\equiv x^5 - 1 \\ (x - 1) \cdot (x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) &\equiv x^6 - 1 \\ (x - 1) \cdot \phi_n(x) &\equiv x^{n + 1} - 1 \end{align*}

Produtos notáveis e racionalização

Além do tempo ganho no desenvolvimento de expressões, os produtos notáveis são úteis na racionalização de denominadores no estudo dos números irracionais.

Quando o denominador da expressão a ser racionalizada tem a forma de um binômio $\left(A\sqrt{B} \pm C\sqrt{D}\right)$ em que os dois termos ou, pelo menos um deles, é uma raiz quadrada, seu fator racionalizante se baseia no produto notável $(a + b) \cdot (a - b) = a^2 - b^2$ .

Exemplos:

O fator racionalizante de $\sqrt{7} + 2$ é $\sqrt{7} - 2$ , pois $\left(\sqrt{7} + 2\right) \cdot \left(\sqrt{7} - 2\right) = 7 - 4 = 3$ .
O fator racionalizante de $5 - 3\sqrt{2}$ é $5 + 3\sqrt{2}$ , pois $\left(5 + 3\sqrt{2}\right) \cdot \left(5 - 3\sqrt{2}\right) = 25 - 18 = 7$ .
O fator racionalizante de $\sqrt{3 - \sqrt{5}}$ é $\sqrt{3 + \sqrt{5}}$ , pois $\sqrt{3 - \sqrt{5}} \cdot \sqrt{3 + \sqrt{5}} = \sqrt{9 - 5} = \sqrt{4} = 2$ .

Para racionalizar os denominadores de frações irracionais, basta que se multiplique tanto o numerador quanto o denominador pelo fator racionalizante. Observe:

$\dfrac{3}{5 - \sqrt{7}} = \dfrac{3 \cdot \left(5 + \sqrt{7}\right)}{\left(5 - \sqrt{7}\right) \cdot \left(5 + \sqrt{7}\right)} = \dfrac{3 \cdot \left(5 + \sqrt{7}\right)}{25 - 7} = \dfrac{3 \cdot \left(5 + \sqrt{7}\right)}{18} = \dfrac{5 + \sqrt{7}}{6}$
$\dfrac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \dfrac{4\sqrt{3} \cdot \left(\sqrt{2} - \sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{2} + \sqrt{3}\right) \cdot \left(\sqrt{2} - \sqrt{3}\right)} = \dfrac{4\sqrt{6} - 12}{2 - 3} = \dfrac{4 \cdot \left(\sqrt{6} - 3\right)}{-1} = 4 \cdot \left(3 - \sqrt{6}\right)$
$\dfrac{2}{\sqrt{2 - \sqrt{3}}} = \dfrac{2 \cdot \sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2 - \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{3}}} = \dfrac{2 \cdot \sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4 - 3}} = \dfrac{2\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{1} = 2\sqrt{2 + \sqrt{3}}$
$\dfrac{3 + \sqrt{5}}{\sqrt{5} + 2} = \dfrac{\left(3 + \sqrt{5}\right) \cdot \left(\sqrt{5} - 2\right)}{\left(\sqrt{5} + 2\right) \cdot \left(\sqrt{5} - 2\right)} = \dfrac{3\sqrt{5} - 6 + 5 - 2\sqrt{5}}{5 - 4} = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{1} = \sqrt{5} - 1$

Atribuições algébricas

A mudança de variável também é indicada por uma relação de equivalência que apresenta todas as características de uma identidade com mais de uma variável, mas transmite uma ideia diferente. Enquanto as identidades expressam fatos descobertos ao longo do estudo da Matemática, uma atribuição representa uma imposição momentânea que será verdadeira apenas durante a execução do processo algébrico desenvolvido a partir de sua declaração.

Atribuições matemáticas devem ser declaradas, por exemplo “... então, fazendo $y = \sqrt{x - 1}$ , temos ...”. Elas servem para informar a relação entre a nova variável e a atual.

A relação $y = \sqrt{x - 1}$ garante que conheceremos o valor de $y$ sempre que soubermos o valor de $x$ e este for no mínimo 1. Em outras palavras, ela expressa $y$ em função de $x$ para $x \geq 1$ (que é a condição de existência do segundo membro). A mesma relação pode ser escrita com $x$ em função de $y$ na forma $x = y^2 + 1$ com $y \geq 0$ .

Essas atribuições surgem, na maioria das vezes, para reduzir a quantidade de símbolos usados numa sentença matemática. Quando se deseja resolver a equação $x + \sqrt{x - 1} = 13$ , por exemplo, associada à relação entre $x$ e $y$ imposta anteriormente, é gerada a sentença $y^2 + 1 + y = 13$ , ou seja, $y^2 + y - 12 = 0$ , que implica $y = 3$ ou $y = -4$ . Mas como $y \geq 0$ , temos que $y = 3$ .

Um risco que corremos quando efetuamos mudanças de variável nos processos algébricos é tomar os valores das variáveis criadas como sendo as soluções do problema. Nesse caso, a solução do problema não é o número 3, mas sim o número 10.

Fatoração

Fatorar significa escrever na forma de produto e é uma tarefa que pode ser mais trabalhosa do que a simples execução da propriedade distributiva ou de um produto notável.

Em muitos momentos se faz necessária a decomposição de um polinômio e, para isso, existem alguns processos que abordaremos a seguir. A maioria desses casos se apoia em identidades decorrentes dos produtos notáveis que estudamos anteriormente.

1^o Caso: Fator comum

Esse processo é usado quando a expressão a ser fatorada apresenta um fator comum a todos os seus termos.

Perceba que o fator comum ( $a$ ) é colocado em evidência e cada termo da expressão é dividido por ele, gerando o outro fator $(x + y)$ .

Por exemplo, acompanhe a fatoração de cada expressão a seguir:

$3a^2 - 2ab \equiv a(3a - 2b)$
$2x^3y + 8x^2y^4 - 6x^4y^3z \equiv 2x^2y(x + 4y^3 - 3x^2y^2z)$
$6m^5n^2 - 10m^3n^3 + 2m^2n^2 \equiv 2m^2n^2(3m^3 - 5mn + 1)$

2^o Caso: Agrupamento

Esse processo é utilizado quando a expressão a ser fatorada apresenta grupos de termos que possuem fatores comuns.

Perceba que inicialmente agrupamos os termos que possuíam fatores comuns e em seguida, em cada um desses grupos, colocamos o fator comum em evidência.

Por exemplo, acompanhe a fatoração de cada expressão a seguir:

$x^2 + 5x + ax + 5a \equiv x(x + 5) + a(x + 5) \equiv (x + 5)(x + a)$
$6x^2 + 2xy - 3xz - yz \equiv 2x(3x + y) - z(3x + y) \equiv (3x + y)(2x - z)$
$a^3 - 3a^2 - 8a + 24 \equiv a^2(a - 3) - 8(a - 3) \equiv (a - 3)(a^2 - 8)$

3^o Caso: Diferença de quadrados

Esse processo é utilizado quando a expressão a ser fatorada se apresenta sob a forma de uma diferença entre dois quadrados.

Perceba que a expressão pode ser decomposta no produto da soma pela diferença das raízes dos dois termos quadrados.

Por exemplo, acompanhe a fatoração de cada expressão a seguir:

$x^2 - y^2 \equiv (x + y) \cdot (x - y)$
$m^2 - 9 \equiv (m + 3) \cdot (m - 3)$
$4a^2b^2 - 9c^2d^2 \equiv (2ab + 3cd) \cdot (2ab - 3cd)$
$25x^2 - 1 \equiv (5x + 1) \cdot (5x - 1)$
$x^2 - (y - z)^2 \equiv [x + (y - z)] \cdot [x - (y - z)] \equiv (x + y - z) \cdot (x - y + z)$

4^o Caso: Trinômio quadrado perfeito (T.Q.P.)

Esse processo é utilizado quando a expressão a ser fatorada se apresenta com dois termos quadrados e o terceiro como um duplo produto das raízes dos termos quadrados.

Perceba que o T.Q.P. pode ser decomposto no quadrado da soma ou da diferença das raízes conforme o sinal do duplo produto.

Por exemplo, acompanhe a fatoração de cada expressão a seguir:

$x^2 + 6x + 9 \equiv (x + 3)^2$
$x^2 + 49 - 14x \equiv (x - 7)^2$
$a^2 - 2a + 1 \equiv (a - 1)^2$
$y^4 + 10xy^2 + 25x^2 \equiv (y^2 + 5x)^2$
$-x^2 - \dfrac{1}{36} + \dfrac{x}{3} \equiv -\left(x^2 - \dfrac{x}{3} + \dfrac{1}{36}\right) \equiv -\left(x - \dfrac{1}{6}\right)^2$

Exercício resolvido 2

Fuvest-SP As soluções da equação $\dfrac{x - a}{x + a} + \dfrac{x + a}{x - a} = \dfrac{2(a^4 + 1)}{a^2(x^2 - a^2)}$ , onde $a \neq 0$ , $a \neq 1$ e $a \neq -1$ , são:

$\dfrac{-a}{2}$ e $\dfrac{a}{4}$
$\dfrac{-a}{4}$ e $\dfrac{a}{4}$
$\dfrac{-1}{2a}$ e $\dfrac{1}{2a}$
$\dfrac{-1}{a}$ e $\dfrac{1}{2a}$
$-\dfrac{1}{a}$ e $\dfrac{1}{a}$

Resolução

\begin{align*} &\frac{x - a}{x + a} + \frac{x + a}{x - a} = \frac{2(a^4 + 1)}{a^2(x^2 - a^2)} \Rightarrow \\ &\Rightarrow \frac{(x - a)^2 + (x + a)^2}{(x + a) \cdot (x - a)} = \frac{2(a^4 + 1)}{a^2(x^2 - a^2)} \Rightarrow \\ &\Rightarrow \frac{x^2 - 2ax + a^2 + x^2 + 2ax + a^2}{x^2 - a^2} = \frac{2(a^4 + 1)}{a^2(x^2 - a^2)} \Rightarrow \\ &\Rightarrow \frac{x^2 + a^2 + x^2 + a^2}{x^2 - a^2} = \frac{2(a^4 + 1)}{a^2(x^2 - a^2)} \Rightarrow \\ &\Rightarrow a^2 \cdot (2x^2 + 2a^2) = 2(a^4 + 1) \Rightarrow 2a^2x^2 + 2a^4 = 2a^4 + 2 \Rightarrow \\ &\Rightarrow 2a^2x^2 = 2 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{a^2} \Rightarrow x = \pm\sqrt{\frac{1}{a^2}} = \pm\frac{1}{a} \;\therefore\; S = \left\{\pm\frac{1}{a}\right\} \end{align*}

Resposta: alternativa E.

Saiba mais

No período da Renascença, os matemáticos europeus não dispunham de uma notação algébrica eficiente para descrever as sentenças matemáticas, isso era feito por meio de versos ou frases ritmadas. Até hoje esse recurso é usado para facilitar a memorização de identidades. A expressão resultante de $(a + b)^2$ , por exemplo, é bastante conhecida, numa versão informal, como “O quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo”. Uma versão em linguagem formal dessa identidade seria “O quadrado da soma de dois números equivale à soma dos seus quadrados mais o dobro do produto desses números”. A mesma identidade pode ser ilustrada por meio de uma interpretação geométrica, construindo-se um quadrado cujo lado é formado pela soma das medidas de dois segmentos $a$ e $b$ , e verificando-se que nele cabem um quadrado de lado $a$ , um quadrado de lado $b$ e dois retângulos de lados $a$ e $b$ .

5^o Caso: Trinômio do 2^o grau

Esse processo é usado quando a expressão a ser fatorada se apresenta sob a forma de um trinômio completo do 2^o grau, onde, quando ordenados em potências decrescentes da variável, o coeficiente do 1^o termo é a unidade e o coeficiente do 2^o termo é a soma de duas quantidades, cujo produto é o 3^o termo.

Perceba que o trinômio pode ser decomposto num produto de dois binômios onde $r_1$ e $r_2$ são as raízes da equação do 2^o grau em que podemos transformar o trinômio do 2^o grau.

Por exemplo, acompanhe as fatorações das expressões a seguir:

$x^2 - 5x + 6 \equiv (x - 2) \cdot (x - 3)$
$x^2 + 5x - 6 \equiv (x - 1) \cdot (x + 6)$
$y^2 + 8y + 12 \equiv (y + 2) \cdot (y + 6)$
$z^2 - 8z + 15 \equiv (z - 3) \cdot (z - 5)$

6^o Caso: Soma ou diferença entre dois cubos

É o processo usado quando a expressão a ser fatorada se apresenta sob a forma da soma de dois cubos ou sob a forma da diferença entre dois cubos.

Perceba que a expressão pode ser decomposta num produto de dois fatores, onde o 1^o é um binômio com as raízes cúbicas e o segundo é um trinômio com o quadrado da 1^a raiz, o produto da 1^a pela 2^a raiz, mais o quadrado da 2^a raiz.

Por exemplo, acompanhe as fatorações das expressões a seguir:

$8k^3 + 27 \equiv (2k + 3) \cdot (4k^2 - 6k + 9)$
$x^3 - 8 \equiv (x - 2) \cdot (x^2 + 2x + 4)$
$27a^3 + 125b^3 \equiv (3a + 5b) \cdot (9a^2 - 15ab - 25b^2)$
$\dfrac{m^3}{8} - \dfrac{n^3}{64} \equiv \left(\dfrac{m}{2} - \dfrac{n}{4}\right) \cdot \left(\dfrac{m^2}{4} + \dfrac{m \cdot n}{8} + \dfrac{n^2}{16}\right)$

Adequando um caso de fatoração

Quando nenhum dos casos pode ser aplicado, é possível empregar manipulações algébricas para que a expressão se encaixe em algum dos casos de fatoração. No 1^o exemplo usaremos o artifício que chamamos de “completar o quadrado” e, no 2^o exemplo, vamos evidenciar um fator que não é comum.

Exemplo 1: Fatorar a expressão $x^4 + 4x^2 + 3$ .

Se, em vez de 3 tivéssemos 4, a expressão seria um trinômio quadrado perfeito, então vamos “somar e subtrair 1” da expressão para que o valor da mesma não se altere:

x^4 + 4x^2 + 3 + 1 - 1 = \underbrace{x^4 + 4x^2 + 4}_{\text{T.Q.P.}} - 1 = \underbrace{(x^2 + 2)^2 - 1}_{\text{Diferença de quadrados}} =

= [(x^2 + 2) + 1] \cdot [(x^2 + 2) - 1] = (x^2 + 3)(x^2 + 1)

Exemplo 2: Fatorar a expressão:

x^4 + 2x^3y - 3x^2y^2 - 4xy^3 - y^4

Colocando $y^4$ em evidência, temos:

\begin{align*} &x^4 + 2x^3y - 3x^2y^2 - 4xy^3 - y^4 = \\ &= y^4 \cdot \left(\frac{x^4}{y^4} + \frac{2x^3y}{y^4} - \frac{3x^2y^2}{y^4} - \frac{4xy^3}{y^4} - \frac{y^4}{y^4}\right) = \\ &= y^4 \cdot \left(\frac{x^4}{y^4} + 2\frac{x^3}{y^3} - 3\frac{x^2}{y^2} - 4\frac{x}{y} - 1\right) \end{align*}

Chamando $\dfrac{x}{y} = m$ , temos:

\begin{align*} &y^4(m^4 + 2m^3 - 3m^2 - 4m - 1) = \\ &= y^4\left[(m^4 - m^3 - m^2) + (3m^3 - 3m^2 - 3m) + (m^2 - m - 1)\right] = \\ &= y^4\left[m^2(m^2 - m - 1) + 3m(m^2 - m - 1) + 1(m^2 - m - 1)\right] = \\ &= y^4(m^2 - m - 1) \cdot (m^2 + 3m + 1) \end{align*}

Voltando com $m = \dfrac{x}{y}$ , temos:

\begin{align*} &y^4\left(\frac{x^2}{y^2} - \frac{x}{y} - 1\right) \cdot \left(\frac{x^2}{y^2} + 3\frac{x}{y} + 1\right) = \\ &= y^2\left(\frac{x^2}{y^2} - \frac{x}{y} - 1\right) \cdot y^2\left(\frac{x^2}{y^2} + 3\frac{x}{y} + 1\right) = \\ &= (x^2 - xy - y^2) \cdot (x^2 + 3xy + y^2) \end{align*}

Atenção

Nós abordamos os casos principais e necessários dos produtos notáveis.

\begin{align*} ax + ay &\equiv a(x + y) \\ ax + ay + bx + by &\equiv a(x + y) + b(x + y) \equiv (x + y)(a + b) \\ a^2 - b^2 &\equiv (a + b)(a - b) \\ a^2 + 2ab + b^2 &\equiv (a + b)^2 \\ a^2 - 2ab + b^2 &\equiv (a - b)^2 \\ x^2 + (r_1 + r_2)x + r_1 \cdot r_2 &\equiv (x + r_1)(x + r_2) \\ a^3 + b^3 &\equiv (a + b)(a^2 - ab + b^2) \\ a^3 - b^3 &\equiv (a - b)(a^2 + ab + b^2) \end{align*}

Equações recíprocas

Uma equação é chamada de recíproca quando for igual a sua transformada recíproca, isto é, se $x_1$ é uma de suas raízes, então $\dfrac{1}{x_1}$ também o será.

Dada a equação $x^4 - 3x^3 + 7x^2 - 3x + 1 = 0$ , sua transformada recíproca é $\left(\dfrac{1}{x}\right)^4 - 3\left(\dfrac{1}{x}\right)^3 + 7\left(\dfrac{1}{x}\right)^2 - 3\left(\dfrac{1}{x}\right) + 1 = 0$ ou $y^4 - 3y^3 + 7y^2 - 3y + 1 = 0$ , que é a mesma equação da qual se partiu.

À primeira vista, pode parecer que nas equações recíprocas os coeficientes dos termos equidistantes dos extremos devem ser iguais. Contudo, nem sempre isso ocorre, pois também são recíprocas equações do tipo: $x^5 - 3x^4 + 6x^3 - 6x^2 + 3x - 1 = 0$ .

E como é resolvido esse tipo de equação recíproca?

Vejamos um exemplo que ilustra o método de solução:

Seja a equação $4x^4 - 5x^3 + 7x^2 - 5x + 4 = 0$ .

Dividindo-a por $x^2 = 0$ , tem-se:

4x^2 - 5x + 7 - \frac{5}{x} + \frac{4}{x^2} = 0

Seja $x + \dfrac{1}{x} = y$ . Portanto:

x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = y^2 \Rightarrow x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2

De modo que:

\begin{align*} &4x^2 - 5x + 7 - \frac{5}{x} + \frac{4}{x^2} = 0 \Rightarrow 4x^2 + \frac{4}{x^2} - 5x - \frac{5}{x} + 7 = 0 \Rightarrow \\ &\Rightarrow 4\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 5\left(x + \frac{1}{x}\right) + 7 = 0 \Rightarrow \\ &\Rightarrow 4(y^2 - 2) - 5y + 7 = 0 \Rightarrow 4y^2 - 5y - 1 = 0 \\ &\therefore\; y = \frac{5 \pm \sqrt{41}}{8} \end{align*}

Assim, $x + \dfrac{1}{x} = \dfrac{5 \pm \sqrt{41}}{8} \Rightarrow x^2 - \left(\dfrac{5 \pm \sqrt{41}}{8}\right)x + 1 = 0$ , de onde resultam as 4 raízes procuradas.

Problemas do 1^o e 2^o graus

Na sequência estudaremos a resolução desses problemas, mas primeiro explanaremos as equações e seus elementos.

Equação algébrica

Chama-se de equação uma sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. São exemplos de equações:

Observação: Numa equação, tudo que antecede o sinal de igualdade é denominado 1^o membro e tudo que sucede o sinal de igualdade é denominado 2^o membro. Assim, na equação $2x - 3 = 5$ temos que $2x - 3$ é o 1^o membro e 5 é o 2^o membro.

Equação do 1^o grau

Numa equação do 1^o grau temos como forma geral de representação:

ax + b = 0 \to \left\{ \begin{array}{l} \text{1º membro: } ax + b \\ \text{2º membro: } 0 \\ \text{coeficientes: } a \text{ e } b\ (a \in \mathbb{R},\ b \in \mathbb{R}) \\ \text{incógnita: } x \end{array} \right.

Exemplos:

2x - 5 = 0 \qquad x + 4 = 7 \qquad -7x + 9 = 1 \qquad 32x = 0

Resolver uma equação corresponde a encontrar o valor de sua incógnita (que chamamos de raiz). No caso das equações do 1^o grau, encontramos de um modo muito simples sua única raiz. Observe:

ax + b = 0 \;\Rightarrow\; ax = -b \;\Rightarrow\; x = -\frac{b}{a}

Logo, $-\dfrac{b}{a}$ é a solução da equação do 1^o grau.

Exemplos:

\begin{array}{ccc} 5x - 10 = 0 & 7x = 4 - 2x & -2x + 1 = 2 \\ 5x = 10 & 9x - 4 = 0 & -2x = 1 \\[4pt] x = \dfrac{10}{5} & 9x = 4 & x = \dfrac{1}{-2} \\[6pt] x = 2 & x = \dfrac{4}{9} & x = -\dfrac{1}{2} \end{array}

O conjunto solução ou conjunto verdade de uma equação é o conjunto de todos os valores que a tornam uma sentença verdadeira, ou seja, são os números que fazem com que o 1^o membro fique igual ao 2^o membro.

Como a equação do 1^o grau admite uma única raiz, seu conjunto solução será um conjunto unitário. Observe:

\begin{array}{ccc} 5x - 10 = 0 & 7x = 4 - 2x & -2x + 1 = 2 \\ S = \{2\} & S = \left\{\dfrac{4}{9}\right\} & S = \left\{-\dfrac{1}{2}\right\} \end{array}

Equações equivalentes

Também chamadas de simultâneas, são equações de mesmo grau que admitem o mesmo conjunto solução.

Exemplos:

$2x - 4 = 0$ e $x - 1 = 1$ são equivalentes, pois em ambos os casos o conjunto solução é $S = \{2\}$ ;
$7x + 1 = 0$ e $3 = -21x$ são equivalentes, pois em ambos os casos o conjunto solução é $S = \left\{-\dfrac{1}{7}\right\}$ .

Casos especiais

Observe a seguir exemplos de casos que apresentam soluções que merecem destaque:

\begin{array}{ccc} 2(x + 3) = 6 & 2x + 5 = \dfrac{4x + 10}{2} & 3x + 1 = 3(x + 2) \\[6pt] 2x + 6 = 6 & 2(2x + 5) = 4x + 10 & 3x + 1 = 3x + 6 \\ 2x = 0 & 4x + 10 = 4x + 10 & 3x - 3x = 6 - 1 \\[4pt] x = \dfrac{0}{2} & 4x - 4x = 10 - 10 & 0x = 5 \\[6pt] x = 0 & 0x = 0 & 0 = 5 \\ S = \{0\} & 0 = 0 & S = \varnothing \\ & S = \mathbb{R} & \end{array}

Equação do 2^o grau

Chamamos de equação do 2^o grau, toda equação da forma $ax^2 + bx + c = 0$ , com $a \in \mathbb{R}^*$ e $b, c \in \mathbb{R}$ . A incógnita é $x$ e os números $a$ , $b$ e $c$ são chamados de coeficientes.

Exemplos:

$3x^2 - 5x + 9 = 0$ $\begin{cases} a = 3 \\ b = -5 \\ c = 9 \end{cases}$
$-2x^2 + 7x = 0$ $\begin{cases} a = -2 \\ b = 7 \\ c = 0 \end{cases}$
$x^2 - 4 = 0$ $\begin{cases} a = 1 \\ b = 0 \\ c = -4 \end{cases}$
$-7x^2 = 0$ $\begin{cases} a = -7 \\ b = 0 \\ c = 0 \end{cases}$

Equações incompletas do 2^o grau

Chamamos de equações incompletas as equações cujos coeficientes $b$ e/ou $c$ são iguais a zero.

1^o caso: $b = 0 \longrightarrow ax^2 + c = 0$

Exemplos:

\begin{array}{cc} 3x^2 - 12 = 0 & x^2 + 3 = 0 \\ 3x^2 = 12 & x^2 = -3 \\ x^2 = 4 & x \notin \mathbb{R} \\ x = \pm 2 & S = \varnothing \\ S = \{\pm 2\} & \end{array}

Observação: Uma equação do 2^o grau incompleta em $b$ , quando tem solução, apresenta raízes opostas (simétricas).

2^o caso: $c = 0 \longrightarrow ax^2 + bx = 0$

Exemplos:

\begin{array}{cc} x^2 - 5x = 0 & -3x^2 - 6x = 0 \\ x(x - 5) = 0 & -3x(x + 2) = 0 \\ x = 0 \text{ ou} & -3x = 0 \Rightarrow x = 0 \\ x - 5 = 0 & x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \\ x = 5 & S = \{0, -2\} \\ S = \{0, 5\} & \end{array}

Observação: Uma equação do 2^o grau incompleta em $c$ sempre tem solução e uma das raízes é zero.

3^o caso: $b = c = 0 \longrightarrow ax^2 = 0$

Exemplos:

\begin{array}{cc} 5x^2 = 0 & -\dfrac{7}{3}x^2 = 0 \\[6pt] x^2 = 0 & x^2 = 0 \\ x = 0 & x = 0 \\ S = \{0\} & S = \{0\} \end{array}

Observação: Uma equação do 2^o grau incompleta em $b$ e $c$ sempre tem solução igual a zero.

Equações completas

Chamamos de equações completas aquelas cujos coeficientes $a$ , $b$ e $c$ são diferentes de zero.

Em qualquer equação do 2^o grau podemos optar por formas de resolução. Uma forma de resolver qualquer equação (incompleta ou completa) é utilizando a fórmula a seguir:

ax^2 + bx + c = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta = b^2 - 4 \cdot a \cdot c \text{ é o discriminante da equação} \\[6pt] x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \begin{array}{l} \nearrow\ x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \\[6pt] \searrow\ x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \end{array} \\[18pt] x_1 \text{ e } x_2 \text{ são as raízes da equação} \end{array} \right.

Exemplo: Resolver a equação $3x^2 + x - 2 = 0$ .

\Delta = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25

x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 \pm 5}{6} \begin{array}{l} \nearrow\ x_1 = \dfrac{-1 - 5}{6} = \dfrac{-6}{6} = -1 \\[8pt] \searrow\ x_2 = \dfrac{-1 + 5}{6} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} \end{array}

Portanto, $S = \left\{-1, \dfrac{2}{3}\right\}$ .

Discussão de raízes

Podemos dizer qual é o número de raízes reais de uma equação do 2^o grau com coeficientes reais, observando o valor do discriminante da equação, assim:

Se $\Delta > 0$ , a equação possui duas raízes reais e distintas.
Se $\Delta < 0$ , a equação não possui raízes reais (possui duas raízes não reais).
Se $\Delta = 0$ , a equação possui duas raízes reais e iguais.

Exemplos:

Determine $m$ de modo que a equação $-5x^2 + 7x - 3m = 0$ não admita raízes reais. Se a equação não deve admitir raízes reais, então $\Delta < 0$ , logo:

\begin{align*} &7^2 - 4 \cdot (-5) \cdot (-3m) < 0 \;\Rightarrow\; 49 - 60m < 0 \;\Rightarrow \\ &\Rightarrow -60m < -49 \;\Rightarrow\; 60m > 49 \;\Rightarrow\; m > \frac{49}{60} \end{align*}

Determine o maior valor inteiro de $k$ para que a equação $kx^2 - 6x + 2 = 0$ admita raízes reais.

Para que a equação admita raízes reais devemos ter $\Delta \geq 0$ , logo:

\begin{align*} &(-6)^2 - 4 \cdot k \cdot 2 \geq 0 \;\Rightarrow\; 36 - 8k \geq 0 \;\Rightarrow\; -8k \geq -36 \;\Rightarrow \\ &\Rightarrow 8k \leq 36 \;\Rightarrow\; k \leq \frac{36}{8} \;\therefore\; k \leq \frac{9}{2} \end{align*}

Soma e produto das raízes (relações de Girard)

Numa equação do 2^o grau que tenha como coeficientes números reais, podemos demonstrar uma relação existente entre suas raízes e seus coeficientes.

Seja a equação $ax^2 + bx + c = 0$ com $a \neq 0$ e sejam as raízes: $x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ e $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ .

Vamos estabelecer as seguintes relações:

Soma das raízes:
$x_1 + x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}$
Produto das raízes:
$\begin{align*} x_1 \cdot x_2 &= \left(\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\right) \cdot \left(\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\right) = \frac{b^2 - \Delta}{4a^2} = \\ &= \frac{b^2 - b^2 + 4ac}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a} \end{align*}$

Exemplos:

$2x^2 - 10x + 12 = 0$
Soma: $\dfrac{-(-10)}{2} = 5$
Produto: $\dfrac{12}{2} = 6$
$x_1 = 2$ e $x_2 = 3 \Rightarrow S = \{2, 3\}$
$x^2 - \left(\sqrt{3} + \sqrt{7}\right)x + \sqrt{21} = 0$
Soma: $\dfrac{-\left[-\left(\sqrt{3} + \sqrt{7}\right)\right]}{1} = \sqrt{3} + \sqrt{7}$
Produto: $\dfrac{\sqrt{21}}{1} = \sqrt{21}$
$x_1 = \sqrt{3}$
$x_2 = \sqrt{7} \;\Rightarrow\; S = \left\{\sqrt{3}, \sqrt{7}\right\}$

Forma fatorada da equação do 2^o grau

Chamamos a forma fatorada de uma equação do 2^o grau como “trinômio do 2^o grau”. Observe:

ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)

Onde $x_1$ e $x_2$ são as raízes da equação.

Exemplos:

$2x^2 - 10x + 12 = 0$ Forma fatorada:
$x_1 = 2$ e $x_2 = 3$ $2 \cdot (x - 2) \cdot (x - 3)$
$5x^2 + 9x - 2 = 0$ Forma fatorada:
$x_1 = -2$ e $x_2 = \dfrac{1}{5}$ $5 \cdot (x + 2) \cdot \left(x - \dfrac{1}{5}\right)$
$x^2 - \left(\sqrt{3} + \sqrt{7}\right)x + \sqrt{21} = 0$ Forma fatorada:
$x_1 = \sqrt{3}$ e $x_2 = \sqrt{7}$ $1 \cdot \left(x - \sqrt{3}\right) \cdot \left(x - \sqrt{7}\right)$

Equações biquadradas e equações irracionais

Algumas equações podem ser transformadas ou reduzidas a equações do 2^o grau. Chamamos de equação biquadrada e de equação irracional, respectivamente, aos exemplos no 1^o e no 2^o casos a seguir:

1^o caso: $y^4 - 3y^2 + 2 = 0$

Chamando $y^2 = m$ , temos:

m^2 - 3m + 2 = 0 \Rightarrow m = 1 \text{ ou } m = 2

Assim: $\begin{cases} y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm 1 \\ y^2 = 2 \Rightarrow y = \pm\sqrt{2} \end{cases}$

Portanto, $S = \left\{\pm 1, \pm\sqrt{2}\right\}$ .

2^o caso: $\sqrt{3x + 4} = x - 8$

Elevando ao quadrado ambos os membros:

\begin{align*} &3x + 4 = (x - 8)^2 \Rightarrow 3x + 4 = x^2 - 16x + 64 \Rightarrow \\ &\Rightarrow x^2 - 19x + 60 = 0 \end{align*}

As raízes são $x = 4$ (não convém) ou $x = 15$ .

Portanto, $S = \{15\}$ .

Passagens da resolução de uma equação

Já vimos que uma equação polinomial de grau $n$ admite um conjunto solução com no máximo $n$ elementos distintos, qualquer que seja o domínio da variável. Esse fato é consequência direta do teorema fundamental da Álgebra, que, embora seja o alicerce de nosso estudo atual, será abordado apenas no final do curso. Por ora, consideraremos tal fato, em toda passagem algébrica, prestando atenção à possibilidade de alteração do conjunto solução das sentenças algébricas que usamos para representar uma mesma equação.

Passagens permitidas

São aquelas que não alteram o conjunto solução de uma equação em hipótese alguma:

Substituição de uma sentença algébrica por outra idêntica a ela.
Exemplo:
$\underbrace{x^2 - 6x + 9}_{\text{T.Q.P.}} = \underbrace{2(x + 1)}_{\text{Distributiva}} \;\Rightarrow\; S = \{1, 8\}$
$\downarrow$
$(x - 3)^2 = 2x + 2 \;\Rightarrow\; S = \{1, 8\}$
Adição ou subtração de um mesmo número real ou uma mesma expressão algébrica de domínio real em ambos os termos da equação.
Exemplo:
$\begin{array}{rcll} x + 3 & = & 7 - x & \Rightarrow\; S = \{2\} \\ \underline{+x - 3} & & \underline{-3 + x} & \\ 2x + 0 & = & 4 + 0 & \Rightarrow\; S = \{2\} \end{array}$
Multiplicar ou dividir ambos os membros de uma equação por um mesmo número real não nulo.
Exemplo:
$\underbrace{2x^2 + 12}_{\div\, 2} = \underbrace{10x}_{\div\, 2} \;\Rightarrow\; S = \{2, 3\}$
$\downarrow$
$x^2 + 6 = 5x \;\Rightarrow\; S = \{2, 3\}$

Passagens proibidas

A divisão por zero não tem significado algébrico ou aritmético e, portanto, não tem propósito. Sua execução gera frequentemente uma contradição matemática.

Se multiplicarmos ambos os membros de uma equação por zero, obteremos a sentença fechada $0 = 0$ , que, embora seja verdadeira, não nos leva à solução de uma equação.

Passagens que exigem cuidado

São aquelas que incrementam certo número limitado de soluções numa equação, mas não eliminam as soluções da equação original.

Quando não for possível evitá-las, devemos executar as verificações dos resultados obtidos, substituindo-os na equação original a fim de excluir as respostas indesejadas.

Elevar ao quadrado ambos os membros de uma equação.
Exemplo: $x = 3 \Rightarrow S = \{3\}$
$x^2 = 9 \Rightarrow S = \{-3, 3\}$
Multiplicar ambos os membros de uma equação por uma expressão algébrica.
Exemplo: $x = 3 \Rightarrow S = \{3\}$
$x^2 = 3x \Rightarrow S = \{0, 3\}$

A fim de generalizar as técnicas de resolução das equações polinomiais do 1^o e 2^o graus, devemos nos acostumar com o conceito de parâmetro. Os parâmetros também são representados por letras que, bem como as variáveis, mascaram constantes numéricas de uma sentença matemática; mas, ao contrário das variáveis, não são os valores dos parâmetros que caracterizam os elementos dos conjuntos solução das equações.

Sobre como resolver um problema

Como dito anteriormente, não existe um roteiro que podemos seguir de forma certeira para resolver problemas matemáticos. Porém, vamos destacar alguns passos que podem nos auxiliar a alcançar essa meta.

Inicialmente, devemos praticar a tradução algébrica, que consiste na interpretação da descrição de uma situação-problema para a obtenção de uma equação que modele corretamente o problema. Raramente as equações são obtidas nos seus formatos mais simples, por isso é interessante dominar as técnicas algébricas que permitem reescrevê-las nos seus formatos ideais.

Uma vez feita a tradução algébrica, as variáveis das equações obtidas deverão estar diretamente associadas às incógnitas do problema.

Recomenda-se um uso mínimo de variáveis. Por exemplo, se um problema menciona três números inteiros consecutivos, não os represente por $x$ , $y$ e $z$ , mas por $x - 1$ , $x$ e $x + 1$ .
Recomenda-se também a escolha de variáveis mnemônicas; por exemplo: se um problema trata do número de vacas e do número de galinhas de uma fazenda, prefira utilizar as letras inciais $v$ e $g$ , eliminando, assim, o risco de confundi-los.
Durante toda a resolução de um determinado problema, esteja atento à natureza numérica das variáveis. Por exemplo: o número de filhos de um casal é necessariamente natural; a medida do lado de um polígono pode ser representada por qualquer número real, desde que positivo etc.

Uma característica muito importante da descrição em língua portuguesa de uma sucessão de operações matemáticas, é seguir a ordem contrária à qual as operações são executadas. Assim, enquanto o quadrado da soma de dois números é $\boldsymbol{(x + y)^2}$ , ou seja, primeiro somamos e depois elevamos ao quadrado, a soma dos quadrados de dois números é $\boldsymbol{x^2 + y^2}$ , ou seja, primeiro elevamos ao quadrado cada número para depois executar a adição. Para $x$ e $y$ não nulos, temos que:

A soma dos quadrados dos seus inversos é representada por $\left(\dfrac{1}{x}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{y}\right)^2$ .
O inverso da soma de seus quadrados é representado por $\dfrac{1}{x^2 + y^2}$ .
O quadrado do inverso de sua soma é representado por $\left(\dfrac{1}{x + y}\right)^2$ .

1^o Passo: Compreender o problema.

Qual é a incógnita?

Quais são os dados?

Quais são as condições?

2^o Passo: Planejar – conexão entre dados e incógnita.

Já viu esse problema antes?

Já viu algum problema parecido antes?

É possível reformular o problema (ainda que de outra maneira)?

3^o Passo: Executar o plano.

Verifique cada passo.

É possível verificar se cada passo está correto?

4^o Passo: Verificar a solução encontrada.

É possível verificar o resultado?

É possível usar o resultado num caminho diferente?

Exercício resolvido 3

Hoje Chico e Luísa têm, respectivamente, 15 e 4 anos. Daqui a quantos anos a idade de Chico será o dobro da idade de Luísa?

Resolução

	Hoje	Daqui a $x$ anos
Chico	15	$15 + x$
Luísa	4	$4 + x$

Daqui a $x$ anos:

\begin{align*} 15 + x &= 2 \cdot (4 + x) \\ 15 + x &= 8 + 2x \\ 15 - 8 &= 2x - x \\ x &= 7 \end{align*}

A idade de Chico será o dobro da de Luísa daqui a 7 anos.

Exercício resolvido 4

Na fazenda de Sérgio há galinhas e coelhos em um grande cercado de tela. Sabendo que ao todo nesse cercado tem 120 patas (pés) e 48 animais, quantas galinhas e quantos coelhos Sérgio possui?

Exercício resolvido 5

Que horas são quando o tempo que falta para terminar o dia é $\dfrac{3}{5}$ do tempo que já se passou?

Exercício resolvido 6

Em um passeio de férias escolares, Cassiano calcula que se gastasse R$ 100,00 por dia poderia permanecer viajando por 4 dias a mais do que se gastasse R$ 140,00 por dia. Com quanto dinheiro Cassiano começou a viagem?

Exercício resolvido 7

Um número é composto de dois algarismos cuja diferença é 3. Quando trocada a ordem dos algarismos, o número obtido é $\dfrac{4}{7}$ do número dado. Que número é esse?

Resolução

Se ao inverter a ordem dos algarismos o número se torna menor que o dado $\left(\dfrac{4}{7} \text{ do número dado}\right)$ , concluímos que o primeiro algarismo é maior que o segundo. Supondo que o primeiro algarismo seja $x$ e o segundo $y$ , podemos escrever que $x - y = 3 \Rightarrow x = 3 + y$ e também que $10y + x = \dfrac{4}{7}(10x + y)$ .

Dessas igualdades tem-se:

\begin{align*} &\begin{cases} 10y + x = \dfrac{4}{7}(10x + y) \\ x = 3 + y \end{cases} \Rightarrow 10y + (3 + y) = \frac{4}{7}\left(10 \cdot (3 + y) + y\right) \Rightarrow \\ &\Rightarrow 11y + 3 = \frac{4}{7}(30 + 11y) \;\Rightarrow\; 7(11y + 3) = 4(30 + 11y) \;\Rightarrow \\ &\Rightarrow 77y + 21 = 120 + 44y \;\Rightarrow\; 33y = 99 \;\Rightarrow\; y = 3 \end{align*}

Assim, $x = 3 + 3 = 6$ e o número dado é 63.

Exercício resolvido 8

Quando seu filho nasceu, Agenor tinha 36 anos. O produto da idade do filho e do pai atualmente é igual ao quádruplo do quadrado da idade do filho. Calcule a idade, hoje, de pai e filho.

Exercício resolvido 9

Unicamp-SP Em um restaurante todas as pessoas de um grupo pediram o mesmo prato principal e uma mesma sobremesa. Com o prato principal o grupo gastou R$ 56,00 e com a sobremesa, R$ 35,00. Cada sobremesa custou R$ 3,00 a menos do que o prato principal.

Determine o número de pessoas neste grupo.
Qual é o preço do prato principal?

Exercício resolvido 10

Insper-SP 2014 Por um terminal de ônibus passam dez diferentes linhas. A mais movimentada delas é a linha 1: quatro em cada sete usuários do terminal viajam nessa linha. Cada uma das demais linhas transporta cerca de 1300 usuários do terminal por dia. Considerando que cada passageiro utiliza uma única linha, a linha 1 transporta por dia cerca de

5 200 usuários do terminal.
9 100 usuários do terminal.
13 000 usuários do terminal.
15 600 usuários do terminal.
18 200 usuários do terminal.

Transcrição conferida com a obra original (Matemática I, Poliedro, p. 151-164). Revisada em 07/09/2026. Encontrou um erro? Reportar erro