Ferramentas básicas da Geometria – Matemática (Matemática I, cap. 1)

O quadro é o principal componente de uma bicicleta. Ele precisa ser forte, rígido e leve, e isso pode ser conseguido com a combinação de diferentes formas e materiais. Os modelos mais comuns são baseados geometricamente na forma de triângulos.

O triângulo é a forma mais estável entre os polígonos. Uma de suas principais características é apresentar maior rigidez. As propriedades métricas e trigonométricas dos triângulos têm sua base no triângulo retângulo, que será o principal objeto de estudo deste capítulo. Assim, partiremos desse tipo de triângulo para abordar o teorema de Pitágoras e suas aplicações, bem como as razões trigonométricas.

O triângulo retângulo

Noções iniciais

Observando duas retas ou dois segmentos de reta, ao percebermos que não há paralelismo entre elas, surge de imediato a noção de inclinação relativa entre essas figuras. A grandeza dessa inclinação relativa pode ser mensurada com base no conceito de ângulo.

Ângulos e o ângulo reto

As figuras geométricas formadas pela reunião dos pontos de duas semirretas de mesma origem são denominadas ângulos retilíneos. Esses ângulos costumam ser medidos em graus ou radianos.

Quando três pontos estão sobre uma mesma reta, eles determinam um ângulo raso, cuja medida é $180^\circ$ .

Reta com os pontos B, A e C alinhados (setas nas duas extremidades) e um arco em A indicando o ângulo raso de 180°.

Repare que o ângulo raso equivale a dois ângulos de $90^\circ$ , e cada um desses ângulos é chamado de ângulo reto.

Reta que passa por B, A e C e semirreta de A até D, formando dois ângulos retos marcados com arcos e rotulados 90° e 90°.

Para indicar o ângulo reto, utilizamos o símbolo (0,0.22) – (0,0) – (0.22,0); (0.075,0.075) circle (0.5pt);.

Os ângulos de medida entre $0^\circ$ e $90^\circ$ são denominados agudos, e aqueles cujas medidas estão entre $90^\circ$ e $180^\circ$ recebem o nome de ângulos obtusos.

Reta horizontal com os pontos B, A e C e semirreta inclinada de A até D; à esquerda de AD o arco maior está rotulado "Obtuso" e à direita o arco menor, "Agudo".

Os ângulos retos são aqueles determinados por duas retas concorrentes quando os quatro ângulos formados tiverem a mesma medida (forem congruentes). Nesse caso, as retas serão perpendiculares.

Duas retas concorrentes em A, uma passando por B e C e outra por D e E, com os quatro ângulos retos em A marcados por um quadrado azul com pontos.

Essa situação pode ser observada em diversas figuras geométricas. Vejamos alguns exemplos:

Alturas de polígonos como triângulos, trapézios, paralelogramos ou pentágonos estão contidas em retas que são perpendiculares às bases desses polígonos.
Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio que une o centro da circunferência ao ponto onde ocorre a tangência.
A distância de um ponto P até uma reta $r$ é representada por um segmento perpendicular à reta com uma extremidade em P e outra em $r$ . Nesse caso, a extremidade da distância que está contida na reta $r$ é denominada projeção ortogonal do ponto P sobre essa reta.

Definição de triângulo retângulo

Triângulos são formas geométricas que possuem três lados e três ângulos. Um importante teorema, conhecido como teorema angular de Tales, diz que as medidas dos ângulos internos de qualquer triângulo somam sempre o mesmo que um ângulo raso ( $180^\circ$ ). Assim, supondo que $\alpha$ , $\beta$ e $\gamma$ são as medidas dos três ângulos internos de um triângulo, temos:

Dizemos que um triângulo é retângulo quando um de seus ângulos é reto (de medida $90^\circ$ ). Assim, os outros dois ângulos são agudos e suas medidas somam $90^\circ$ .

Triângulo retângulo ABC com ângulo reto em C (marcado em azul), ângulo β em B, ângulo α em A e a anotação α + β = 90°.

Os lados de um triângulo retângulo são chamados de hipotenusa e catetos. A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto e o maior lado do triângulo retângulo. Desse modo, na figura:

$\overline{AB}$ é a hipotenusa do triângulo, logo $\overline{BC}$ e $\overline{AC}$ são os catetos;
$\overline{AC}$ é o cateto oposto ao ângulo de medida $\beta$ ou o cateto adjacente ao ângulo de medida $\alpha$ ;
$\overline{BC}$ é o cateto adjacente ao ângulo de medida $\beta$ ou o cateto oposto ao ângulo de medida $\alpha$ .

Áreas

Outro conceito que precisaremos recordar é de cálculo de áreas simples, como retângulos, quadrados e triângulos retângulos.

A área pode ser entendida como uma medida de superfície. E, para medir a extensão de uma superfície, criamos uma superfície padrão (unidade de área) e a comparamos com outras superfícies. A superfície padrão mais comum é um quadrado de lado unitário, que passará a ser nossa superfície de área unitária. Cobrimos, assim, a superfície com esse padrão, de maneira que não haja sobreposição, e contamos o número de quadrados unitários. Esse número é a área da superfície. Caso não consigamos cobri-la inteiramente, recorremos a quadrados cada vez menores, que cabem um número inteiro de vezes em nosso quadrado unitário, em um processo de aproximações sucessivas.

O quadrilátero mais simples para medirmos a área é o retângulo. Por ter quatro ângulos retos, nós o utilizaremos como referência para o cálculo de área dos outros quadriláteros. Veja a figura:

Retângulo dividido em uma grade de 6 colunas por 4 linhas de quadrados; o quadrado inferior direito está pintado de vermelho e cotado com 1 cm de largura e 1 cm de altura.

O retângulo da figura tem lados de 4 cm e 6 cm. É fácil ver que cabem $4 \cdot 6 = 24$ quadrados de $1\ \text{cm}^2$ em sua superfície. Por isso, sua área é igual a $24\ \text{cm}^2$ .

De acordo com exemplos como esse, vamos definir a área do retângulo de base $b$ e altura $h$ como o produto $b \cdot h$ .

Retângulo ABCD pintado de laranja, com vértices A (inferior esquerdo), B (inferior direito), C (superior direito) e D (superior esquerdo); base b (base) em AB e altura h (altura) em BC.

O quadrado é um retângulo de lados congruentes. Assim, a área de um quadrado de lado $\ell$ é igual a $\ell \cdot \ell = \ell^2$ .

Quadrado ABCD pintado de azul-esverdeado com os quatro lados rotulados ℓ; vértices A e B embaixo, D e C em cima.

Um triângulo retângulo de catetos $b$ e $c$ e hipotenusa $a$ pode ser entendido como metade de um retângulo de lados $b$ e $c$ . Logo, a área do triângulo retângulo de catetos $b$ e $c$ pode ser dada por $\dfrac{b \cdot c}{2}$ .

Retângulo ABCD dividido pela diagonal DB, rotulada a, em dois triângulos: o inferior (ABD) em bege, com cateto c em AD, cateto b em AB e ângulo reto marcado em A; o superior (BCD) em amarelo.

O teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras diz respeito aos triângulos retângulos, ou seja, aos triângulos que possuem um ângulo reto ( $90^\circ$ ). Os lados que formam esse ângulo reto são os catetos desse triângulo, e o lado oposto a esse ângulo é a hipotenusa do triângulo. O teorema diz:

Para entender o teorema de Pitágoras, podemos interpretar esse enunciado da seguinte forma: a área do quadrado cujos lados têm a mesma medida que a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados medem o mesmo valor que os catetos do triângulo.

Triângulo retângulo laranja com ângulo reto marcado; sobre cada lado há um quadrado: I e II sobre os catetos e III sobre a hipotenusa, com a anotação Área I + Área II = Área III.

A figura a seguir, por exemplo, permite verificar o teorema para o caso particular do triângulo de lados 3, 4 e 5. Veja que a área do quadrado de lado $a = 5$ (medida da hipotenusa) é 25, enquanto as áreas dos quadrados com lados $b = 4$ e $c = 3$ (catetos) são, respectivamente, iguais a 16 e 9. Temos que $16 + 9 = 25$ , ou seja, $b^2 + c^2 = a^2$ .

Triângulo retângulo de catetos b = 4 e c = 3 e hipotenusa a = 5 com um quadrado quadriculado sobre cada lado: quadrado rosa de lado 5 com 25 quadradinhos, quadrado verde de lado 4 com 16 e quadrado amarelo de lado 3 com 9.

Exemplos como esse podem tornar o resultado crível, mas não são uma justificativa geral ou uma demonstração. Há um grande número de demonstrações desse teorema. Vejamos uma delas, atribuída ao próprio Pitágoras.

Dois quadrados de lado b + c. No da esquerda, quatro triângulos retângulos amarelos de catetos b e c cercam um quadrado roxo de lado a. No da direita, os mesmos quatro triângulos amarelos (dois retângulos b por c cortados pelas diagonais a) deixam um quadrado azul de lado b e um quadrado verde de lado c.

Os dois quadrados da figura acima têm lados de medida $b + c$ . Ao remover os triângulos retângulos de catetos $b$ e $c$ dos dois quadrados (os triângulos em amarelo), as áreas remanescentes devem ser iguais. Do lado esquerdo sobrou um quadrado de lado $a$ (em roxo) e, do lado direito, um quadrado de lado $b$ (em azul) e um de lado $c$ (em verde). Assim, a área da superfície roxa ( $a^2$ ) é igual à soma das áreas das superfícies azul ( $b^2$ ) e verde ( $c^2$ ).

O primeiro aspecto prático do teorema de Pitágoras é a facilidade com que se pode encontrar a medida de um dos lados de um triângulo retângulo conhecendo as medidas dos outros dois.

Para encontrar o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo, basta somarmos os quadrados das medidas dos catetos e extrair a raiz quadrada dessa soma. Assim, se os catetos medem 3 cm e 5 cm, por exemplo, a soma dos quadrados de suas medidas é $9\ \text{cm}^2 + 25\ \text{cm}^2 = 34\ \text{cm}^2$ e, portanto, a hipotenusa desse triângulo tem $\sqrt{34}$ cm de comprimento.

Para achar o comprimento de um cateto, basta subtrairmos do quadrado da medida da hipotenusa o quadrado da medida do outro cateto, extraindo, em seguida, a raiz quadrada dessa diferença. Assim, se o cateto de um triângulo mede 3 cm e a hipotenusa mede 7 cm, por exemplo, a diferença dos quadrados das medidas desses valores é $49\ \text{cm}^2 - 9\ \text{cm}^2 = 40\ \text{cm}^2$ e, por conseguinte, o outro cateto desse triângulo tem $\sqrt{40}$ cm de comprimento, ou seja, $2\sqrt{10}$ cm.

Vejamos alguns exemplos clássicos de aplicações do teorema de Pitágoras.

Exercício resolvido 1

Calcule a diagonal de um retângulo de lados 8 cm e 15 cm.

Retângulo amarelo com base 15 cm e altura 8 cm e a diagonal d traçada do canto superior esquerdo ao inferior direito.

Exercício resolvido 2

Quanto mede a diagonal de um quadrado de lado $\ell$ ?

Exercício resolvido 3

Quanto mede a altura de um triângulo isósceles de lados 4 cm, 6 cm e 6 cm?

Exercício resolvido 4

Calcule a altura de um triângulo equilátero de lado $\ell$ .

Resolução

A altura do triângulo equilátero de lado $\ell$ divide sua base ao meio. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:

\begin{gather*} h^2 + \left(\frac{\ell}{2}\right)^2 = \ell^2 \Rightarrow h^2 + \frac{\ell^2}{4} = \ell^2 \Rightarrow h^2 = \ell^2 - \frac{\ell^2}{4} \Rightarrow \\ \Rightarrow h^2 = \frac{4\ell^2 - \ell^2}{4} \Rightarrow h^2 = \frac{3\ell^2}{4} \Rightarrow h = +\sqrt{\frac{3\ell^2}{4}} \Rightarrow \\ \Rightarrow h = \frac{\ell\sqrt{3}}{2} \end{gather*}

Um triângulo equilátero de lado $\ell$ tem altura igual a $\dfrac{\ell\sqrt{3}}{2}$ .

Exercício resolvido 5

Um trapézio isósceles tem bases que medem 16 cm e 40 cm e lados que medem 20 cm. Quanto mede a altura desse trapézio?

Exercício resolvido 6

Um triângulo escaleno ABC tem lados com as seguintes medidas: $AB = 14$ cm, $AC = 13$ cm e $BC = 15$ cm. Calcule a altura relativa ao lado $\overline{AB}$ .

Resolução

Ao traçarmos a altura $\overline{CD}$ , de medida $h$ , ela não divide a base $\overline{AB}$ ao meio, pois o triângulo ABC é escaleno. Fazendo $AD = x$ e $DB = 14 - x$ , temos:

no triângulo ADC: $x^2 + h^2 = 13^2 \Rightarrow x^2 + h^2 = 169$ (I)
no triângulo BDC: $(14 - x)^2 + h^2 = 15^2 \Rightarrow (14 - x)^2 + h^2 = 225 \Rightarrow 196 - 28x + x^2 + h^2 = 225$ (II)

Substituindo (I) em (II), obtemos:

\begin{gather*} 196 - 28x + \underbrace{x^2 + h^2}_{169} = 225 \Rightarrow \\ \Rightarrow 196 - 28x + 169 = 225 \Rightarrow \\ \Rightarrow 28x = 196 + 169 - 225 \Rightarrow \\ \Rightarrow 28x = 140 \Rightarrow x = \frac{140}{28} \Rightarrow x = 5 \end{gather*}

Substituindo o valor encontrado em (I), temos:

5^2 + h^2 = 169 \Rightarrow h^2 = 169 - 25 \Rightarrow h^2 = 144 \Rightarrow h = 12

Portanto, a altura relativa ao lado $\overline{AB}$ mede 12 cm.

Exercício resolvido 7

Sejam duas circunferências: a primeira de centro A e raio 12 cm e a segunda de centro B e raio 5 cm. Sabendo que a distância entre os dois centros é $AB = 25$ cm, calcule o comprimento do segmento tangente externo comum às duas circunferências.

Resolução

Sejam C e D os pontos de tangência, conforme a figura. Queremos calcular CD.

Sabemos que, ao ligar o centro ao ponto de tangência, o raio e a reta tangente formam $90^\circ$ (essa ideia é fundamental na solução dos problemas de tangência). Assim, $\overline{AD} \perp \overline{CD}$ e $\overline{BC} \perp \overline{CD}$ . Tracemos $\overline{BE} \perp \overline{AD}$ . No retângulo BCDE, temos $BE = CD = x$ e $ED = BC = 5$ cm. Assim, $AE = AD - ED = 12 - 5 = 7$ cm.

Sendo $x$ a medida de $\overline{CD}$ , em centímetros, no triângulo AEB, encontramos:

x^2 + 7^2 = 25^2 \Rightarrow x^2 = 625 - 49 \Rightarrow x^2 = 576 \Rightarrow x = 24

Logo, o comprimento do segmento tangente é 24 cm.

Exercício resolvido 8

Sejam duas circunferências: a primeira de centro A e raio 5 cm, e a segunda de centro B e raio 3 cm. Sabendo que a distância entre os dois centros é $AB = 17$ cm, calcule o comprimento do segmento tangente interno comum às duas circunferências.

Resolução

Sejam C e D os pontos de tangência, como mostra a figura. Queremos calcular CD.

Sabemos que, ao ligar o centro ao ponto de tangência, o raio e a reta tangente formam $90^\circ$ . Assim, $\overline{AD} \perp \overline{CD}$ e $\overline{BC} \perp \overline{CD}$ . Prolonguemos $\overline{AD}$ até E de modo que $\overline{BE} \perp \overline{AD}$ . No retângulo BCDE, temos $BE = CD = x$ e $ED = BC = 3$ cm. Logo, $AE = AD + ED = 5 + 3 = 8$ cm. No triângulo AEB, obtemos:

x^2 + 8^2 = 17^2 \Rightarrow x^2 = 289 - 64 \Rightarrow x^2 = 225 \Rightarrow x = 15

Logo, o comprimento do segmento tangente interno é de 15 cm.

Observação: Nas condições dos exercícios resolvidos 7 e 8, há dois segmentos tangentes externos congruentes e dois segmentos tangentes internos congruentes.

Triângulos pitagóricos

Vimos, nos exemplos anteriores, que alguns triângulos retângulos têm lados com medidas representadas por números inteiros, e outros, não. Aqueles triângulos retângulos cujos lados são representados por inteiros são chamados de pitagóricos. Quando os lados são números primos entre si, recebem o nome de pitagóricos primitivos, que são:

o triângulo de lados 3, 4 e 5, pois $5^2 = 3^2 + 4^2$ e $\operatorname{mdc}(3, 4, 5) = 1$ ;
o triângulo de lados 5, 12 e 13, pois $13^2 = 5^2 + 12^2$ e $\operatorname{mdc}(5, 12, 13) = 1$ .

São pitagóricos não primitivos 6, 8 e 10 e 10, 24 e 26 porque, apesar de satisfazerem o teorema de Pitágoras (verifique!), temos $\operatorname{mdc}(6, 8, 10) = 2 \neq 1$ e $\operatorname{mdc}(10, 24, 26) = 2 \neq 1$ . Observe que $(6, 8, 10)$ são números proporcionais a $(3, 4, 5)$ , o que faz com que os triângulos sejam semelhantes. Dizemos que esses dois triângulos são da família $(3, 4, 5)$ , da qual $(3, 4, 5)$ é o primitivo. A mesma observação se aplica a $(5, 12, 13)$ e $(10, 24, 26)$ .

Podemos demonstrar que todo triângulo pitagórico primitivo $(a, b, c)$ pode ser obtido pelo procedimento a seguir:

Escolhemos dois números inteiros positivos $m$ e $n$ , $m > n$ , $m$ e $n$ primos entre si e de paridades diferentes.
Determinamos as medidas dos lados desta forma:
$a = m^2 + n^2 \qquad\qquad b = 2mn \qquad\qquad c = m^2 - n^2$

O quadro a seguir indica alguns pitagóricos obtidos pelo método dado.

$m$	$n$		$a$	$b$	$c$
2	1		5	4	3
3	2		13	12	5
4	1		17	8	15
4	3	$\Rightarrow$	25	24	7
5	2		29	20	21
5	4		41	40	9

O mais famoso dos pitagóricos é o triângulo de medidas 3, 4 e 5.

Exercício resolvido 9

Mostre que o único triângulo pitagórico primitivo que tem lados em progressão aritmética é o triângulo 3, 4, 5.

Resolução

Como os lados do triângulo estão em progressão aritmética, sejam $(\ell - r, \ell, \ell + r)$ suas medidas, em que $\ell$ e $r$ são inteiros positivos. Pelo teorema de Pitágoras, temos:

\begin{gather*} (\ell + r)^2 = \ell^2 + (\ell - r)^2 \\ \ell^2 + 2\ell r + r^2 = \ell^2 + \ell^2 - 2\ell r + r^2 \\ 2\ell r + 2\ell r = \ell^2 \\ 4\ell r = \ell^2 \end{gather*}

Como $\ell > 0$ , simplificando a equação, encontramos $\ell = 4r$ .

Assim, os lados do triângulo são $4r - r = 3r$ , $4r$ e $4r + r = 5r$ . Para que $\operatorname{mdc}(3r, 4r, 5r) = 1$ , devemos ter $r = 1$ , e o triângulo de lados $(3r, 4r, 5r)$ é o triângulo $(3, 4, 5)$ .

Observação: Todos os triângulos semelhantes ao $(3, 4, 5)$ , ou seja, com lados $(3r, 4r, 5r)$ , com $r$ real e positivo, terão os lados em progressão aritmética.

Exercício resolvido 10

Fuvest-SP Uma escada de 25 dm de comprimento se apoia num muro do qual seu pé dista 7 dm. Se o pé da escada se afastar mais 8 dm do muro, qual o deslocamento verificado pela extremidade superior da escada?

4 dm.
5 dm.
6 dm.
7 dm.
8 dm.

Triângulos notáveis

Alguns triângulos retângulos, por serem tão comuns em problemas, acabaram ganhando o apelido de triângulos notáveis. Aqui, destacaremos dois: o triângulo de ângulos $30^\circ$ , $60^\circ$ e $90^\circ$ ; e o triângulo retângulo e isósceles.

Observe na figura a seguir o triângulo ABC de ângulos $30^\circ$ , $60^\circ$ e $90^\circ$ , o qual chamaremos, daqui em diante, $(30^\circ, 60^\circ, 90^\circ)$ . Em torno do lado $\overline{AC}$ , vamos fazer uma rotação de $180^\circ$ (reflexão), colocando o ponto B na posição B'.

À esquerda, triângulo amarelo ABC com ângulo de 30° em A, 60° em B, ângulo reto em C e BC = a. À direita, o mesmo triângulo refletido em torno de AC: AB = 2a, BC = a, AC = x = a√3, e o triângulo tracejado AB'C com AB' = 2a, B'C = a e ângulos 30° em A e 60° em B'.

O triângulo ABB' é equilátero, pois, se $BC = a$ , teremos $AB' = AB = 2a$ e $BB' = 2BC = 2a$ .

Sendo $AC = x$ e aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo ABC, teremos:

x^2 + a^2 = (2a)^2 \Rightarrow x^2 = 4a^2 - a^2 \Rightarrow x^2 = 3a^2 \Rightarrow x = +\sqrt{3a^2} \Rightarrow x = a\sqrt{3}

A conclusão a que chegamos é que o triângulo $(30^\circ, 60^\circ, 90^\circ)$ sempre terá os lados proporcionais aos números $(1, \sqrt{3}, 2)$ , ou seja, lados de medidas $(a, a\sqrt{3}, 2a)$ , $a \in \mathbb{R}_+^*$ , com $a$ oposto ao ângulo de $30^\circ$ , $\sqrt{3}a$ oposto ao ângulo de $60^\circ$ , e $2a$ oposto ao ângulo de $90^\circ$ .

Outro triângulo notável é o triângulo retângulo e isósceles. Veja as figuras seguintes:

À esquerda, triângulo azul ABC retângulo em B com catetos AB = BC = a e ângulos de 45° em A e C. À direita, o mesmo triângulo completado a um quadrado ABCB' de lado a, com a hipotenusa AC = a√2 como diagonal e os ângulos de 45° nos vértices A e C.

O triângulo ABC, retângulo em B, tem os catetos com a mesma medida, digamos $a$ , ou seja, $AB = BC = a$ . Assim, os ângulos $\hat{A}$ e $\hat{C}$ possuem, ambos, medida $45^\circ$ . Como podemos ver na figura, o triângulo ABC é metade de um quadrado de lado $a$ , e sua hipotenusa $\overline{AC}$ é a diagonal desse quadrado, com medida $AC = a\sqrt{2}$ .

Logo, os lados do triângulo retângulo e isósceles têm medidas proporcionais a $(1, 1, \sqrt{2})$ , ou seja, são da forma $(a, a, a\sqrt{2})$ .

Vejamos alguns exemplos de aplicação dessas ideias.

Exercício resolvido 11

Um avião decola de maneira que a trajetória forme um ângulo de $60^\circ$ com o solo, supostamente plano e retilíneo. Após o deslocamento de 10 km em linha reta, determine a que altura o avião se encontra em relação ao solo.

Exercício resolvido 12

Determine a altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo e isósceles de perímetro igual a 2 cm.

Resolução

O triângulo ABC da figura a seguir é retângulo e isósceles com hipotenusa $\overline{BC}$ .

Ao traçarmos a altura $\overline{AM}$ do triângulo, a hipotenusa $\overline{BC}$ fica dividida ao meio. Os triângulos ABM e ACM também são retângulos e isósceles.

Sendo $AM = a$ , temos: $\begin{cases} BM = AM = a \text{ e } AB = a\sqrt{2} \\ CM = AM = a \text{ e } AC = a\sqrt{2} \\ BC = BM + MC = 2a \end{cases}$

Como o perímetro do triângulo ABC é 2 cm, temos:

\begin{gather*} AC + AB + BC = 2 \Rightarrow a\sqrt{2} + a\sqrt{2} + 2a = 2 \Rightarrow \\ \Rightarrow 2a + 2a\sqrt{2} = 2 \Rightarrow a + a\sqrt{2} = 1 \Rightarrow \\ \Rightarrow a\left(1 + \sqrt{2}\right) = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{1 + \sqrt{2}} \end{gather*}

Racionalizando, obtemos:

\begin{gather*} a = \frac{1}{1 + \sqrt{2}} \cdot \frac{1 - \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} = \frac{1 - \sqrt{2}}{1^2 - \left(\sqrt{2}\right)^2} = \\ = \frac{1 - \sqrt{2}}{1 - 2} = \frac{1 - \sqrt{2}}{-1} = \sqrt{2} - 1 \end{gather*}

Assim, a altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo e isósceles de perímetro igual a 2 cm mede $\sqrt{2} - 1$ cm.

Exercício resolvido 13

Tião está fazendo sua tradicional caminhada matinal em uma praia ideal, supostamente retilínea. Seu percurso se dá em linha reta, paralela ao mar, em velocidade constante. Ao chegar ao ponto A, avista um barco firmemente ancorado no ponto N, formando $30^\circ$ com o prolongamento de sua trajetória. Em seguida, ele caminha mais $4\left(\sqrt{3} + 1\right)$ km e encontra o amigo Marcão no ponto B. Olhando para o navio, que ficou parado, Tião conclui que a linha que os liga ao navio ( $\overline{NB}$ ) e o segmento de reta que acaba de percorrer ( $\overline{AB}$ ) formam um ângulo de $45^\circ$ . Após fornecer todas essas informações a Marcão, ele pergunta:

Qual é a distância do navio à praia? (trajetória de Tião)
Quanto mede $\overline{AN}$ ?
Quanto mede $\overline{NB}$ ?

Sabendo que Marcão acertou as respostas, determine o que ele respondeu.

Resolução

No triângulo ANB, a distância percorrida por Tião é $\overline{AB}$ , enquanto a distância do navio até a praia é igual à medida $NH = a$ , da altura relativa a $\overline{AB}$ . Observe que os triângulos ANH e BNH são do tipo $(30^\circ, 60^\circ, 90^\circ)$ e $(45^\circ, 45^\circ, 90^\circ)$ , respectivamente. Dessa maneira, considerando $NH = a$ , temos:

no triângulo ANH: $NH = a$ , $AH = a\sqrt{3}$ e $NA = 2a$ ;
no triângulo BNH: $NH = a$ , $BH = a$ e $BN = a\sqrt{2}$ .

Assim:

\begin{gather*} AB = 4\left(\sqrt{3} + 1\right) \\ AH + HB = 4\left(\sqrt{3} + 1\right) \\ a\sqrt{3} + a = 4\left(\sqrt{3} + 1\right) \\ a\left(\sqrt{3} + 1\right) = 4\left(\sqrt{3} + 1\right) \\ a = 4 \end{gather*}

Respondendo às perguntas:

A distância do navio à praia é igual a 4 km.
$AN = 2a = 8$ km
$NB = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ km $\cong 5{,}66$ km

Observação: O método utilizado na resolução do exercício resolvido 13 é recomendável também em triângulos de ângulos $(30^\circ, 45^\circ, 105^\circ)$ ou $(45^\circ, 60^\circ, 75^\circ)$ .

Saiba mais

As civilizações egípcia, suméria e chinesa já sabiam da existência do resultado conhecido como teorema de Pitágoras pelo menos 12 séculos antes do nascimento do matemático.

No Papiro de Moscou (nome dado unicamente por estar no Museu de Moscou, já que é da civilização egípcia e data de 1890 a.C., aproximadamente), há o cálculo de alturas de trapézio. No Papiro de Rhind (ou de Ahmes), datado de 1650 a.C., e cópia de um trabalho anterior, há 74 problemas, dos quais 20 são de Geometria e Trigonometria. Na obra chinesa K'iu-chang Suan Shu (Aritmética em nove seções), que data entre os séculos III a.C. e II a.C., já há referências ao resultado. Nessa obra, foram reunidos resultados e práticas considerados ancestrais pelos chineses da época. Também há cálculos de comprimento e trigonométricos em tábuas de argila (Coleção Plimpton), desenvolvidos pela civilização suméria por volta de 1600 a.C.

No entanto, foi a escola pitagórica que apresentou a primeira justificativa para o teorema. Pitágoras, se existiu, foi um filósofo e matemático grego natural da Ilha de Samos, onde nasceu por volta de 580 a.C. Sua vida é envolta em lendas, até porque toda a documentação sobre sua existência foi destruída — haveria, inclusive, uma biografia dele escrita por Aristóteles. Sabe-se, porém, que a escola pitagórica realmente existiu e, nela, eram estudados quatro ramos do conhecimento: Aritmética, Música, Geometria e Esférica (Trigonometria).

Segundo algumas lendas, Pitágoras era um jovem de extraordinária beleza e inteligência, além de grande força e habilidades atléticas. Foi enviado a Mileto para estudar com Tales, que rapidamente percebeu que não tinha mais nada a ensinar a Pitágoras, que saiu, então, em viagem pelo mundo, tendo provavelmente conhecido o Egito, a Índia e a China. Foi contemporâneo de Buda e Confúcio; muitos dos seus ensinamentos filosóficos lembram bastante as religiões orientais. Quando voltou ao Ocidente, estabeleceu-se em Crotona (sudoeste da Itália), onde fundou a escola pitagórica. Os pitagóricos deixaram muitas contribuições à Filosofia e à Matemática, entre elas a demonstração do teorema de Pitágoras e a descoberta dos números irracionais.

Devido à popularidade desse teorema, muitos matemáticos se preocuparam com sua demonstração. O professor de Matemática Elisha Scott Loomis, da cidade de Cleveland, Ohio, reuniu, na segunda edição de seu livro, em 1940, 370 demonstrações do teorema.

O triângulo retângulo e as razões trigonométricas

Como vimos, um dos ângulos de um triângulo retângulo mede $90^\circ$ e os outros dois são agudos e complementares. Na figura do triângulo ABC a seguir, temos que:

a hipotenusa do triângulo é $\overline{AB}$ ;
o cateto oposto ao ângulo de medida $\alpha$ é $\overline{BC}$ ;
o cateto adjacente ao ângulo de medida $\beta$ também é $\overline{BC}$ ;
o cateto adjacente ao ângulo de medida $\alpha$ é $\overline{AC}$ ;
o cateto oposto ao ângulo de medida $\beta$ também é $\overline{AC}$ .

Triângulo retângulo ABC com ângulo reto em C, ângulo β em B, ângulo α em A e a anotação α + β = 90°.

As razões trigonométricas seno, cosseno e tangente de ângulos agudos são definidas como quocientes entre os comprimentos de determinados lados de um triângulo retângulo. Em relação aos ângulos de medidas $\alpha$ e $\beta$ no triângulo ABC da figura anterior, encontramos:

\sen(\alpha) = \frac{\text{cateto oposto a } \alpha}{\text{hipotenusa}} = \frac{BC}{AB}

\cos(\alpha) = \frac{\text{cateto adjacente a } \alpha}{\text{hipotenusa}} = \frac{AC}{AB}

\operatorname{tg}(\alpha) = \frac{\text{cateto oposto a } \alpha}{\text{cateto adjacente a } \alpha} = \frac{BC}{AC}

\sen(\beta) = \frac{\text{cateto oposto a } \beta}{\text{hipotenusa}} = \frac{AC}{AB}

\cos(\beta) = \frac{\text{cateto adjacente a } \beta}{\text{hipotenusa}} = \frac{BC}{AB}

\operatorname{tg}(\beta) = \frac{\text{cateto oposto a } \beta}{\text{cateto adjacente a } \beta} = \frac{AC}{BC}

De acordo com essas razões trigonométricas, obtemos:

\alpha + \beta = 90^\circ \Rightarrow \begin{cases} \sen(\alpha) = \cos(\beta) \\ \sen(\beta) = \cos(\alpha) \\ \operatorname{tg}(\alpha) \cdot \operatorname{tg}(\beta) = 1 \end{cases}

Como a hipotenusa é o maior lado do triângulo retângulo, os valores de seno e cosseno de ângulos agudos sempre serão positivos e menores que 1. Já a tangente pode assumir qualquer valor real positivo.

Atenção

A tangente de um ângulo agudo também é igual à razão entre o seno e o cosseno desse mesmo ângulo:

\begin{gather*} \frac{\sen(\theta)}{\cos(\theta)} = \frac{\dfrac{\text{cateto oposto a } \theta}{\text{hipotenusa}}}{\dfrac{\text{cateto adjacente a } \theta}{\text{hipotenusa}}} = \\ = \frac{\text{cateto oposto a } \theta}{\text{hipotenusa}} \cdot \frac{\text{hipotenusa}}{\text{cateto adjacente a } \theta} = \\ = \frac{\text{cateto oposto a } \theta}{\text{cateto adjacente a } \theta} \Rightarrow \frac{\sen(\theta)}{\cos(\theta)} = \operatorname{tg}(\theta) \end{gather*}

Se dois triângulos retângulos têm os mesmos ângulos, eles são semelhantes e, portanto, apresentam os lados proporcionais. Observe a figura a seguir:

Dois triângulos retângulos com o vértice comum A e ângulo α em A: ABC (ângulo reto em B) e AB'C' (ângulo reto em B'), com B e B' sobre a mesma semirreta e C e C' sobre outra.

Os triângulos ABC e AB'C' são semelhantes. Portanto:

Podemos concluir que, para qualquer par de triângulos semelhantes, os valores das funções trigonométricas de um de seus ângulos agudos são iguais para os dois triângulos, pois os lados aumentam proporcionalmente. Isso significa que o valor do seno, do cosseno ou da tangente de um ângulo agudo é uma característica do ângulo, e não do triângulo particular do qual ele faz parte.

Se a hipotenusa de um triângulo retângulo tem medida unitária, as medidas dos seus catetos coincidirão com o seno e o cosseno de um mesmo ângulo agudo desse triângulo.

Triângulo retângulo ABC com ângulo reto em B e ângulo θ em A; hipotenusa AC = 1, cateto AB = cos (θ) e cateto BC = sen (θ).

\text{hipotenusa} = 1 \Rightarrow \begin{cases} \text{cateto oposto} = \text{seno} \\ \text{cateto adjacente} = \text{cosseno} \end{cases}

A sentença algébrica que expressa o teorema de Pitágoras, nesse triângulo retângulo de hipotenusa unitária, é conhecida como relação fundamental da Trigonometria.

Essa relação é válida para qualquer ângulo agudo $\theta$ (no curso de Trigonometria, você verá que essa relação também é válida para todos os ângulos, agudos ou não).

Vejamos o exemplo: no triângulo ABC, de medidas $AB = 5$ cm, $BC = 3$ cm e $AC = 4$ cm, determine as funções trigonométricas dos ângulos agudos.

Triângulo retângulo ABC com ângulo reto em C, hipotenusa AB = 5, cateto BC = 3, cateto AC = 4, ângulo α em A e ângulo β em B.

Já vimos que o triângulo 3, 4, 5 é retângulo. Assim, temos:

\begin{gather*} \sen(\alpha) = \cos(\beta) = \frac{BC}{AB} = \frac{3\ \text{cm}}{5\ \text{cm}} = \frac{3}{5} = 0{,}6 \\ \cos(\alpha) = \sen(\beta) = \frac{AC}{AB} = \frac{4\ \text{cm}}{5\ \text{cm}} = \frac{4}{5} = 0{,}8 \\ \operatorname{tg}(\alpha) = \frac{BC}{AC} = \frac{3\ \text{cm}}{4\ \text{cm}} = \frac{3}{4} = 0{,}75 \\ \operatorname{tg}(\beta) = \frac{AC}{BC} = \frac{4\ \text{cm}}{3\ \text{cm}} = \frac{4}{3} \cong 1{,}\overline{3} \end{gather*}

Observe que:

\sen^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = (0{,}6)^2 + (0{,}8)^2 = 0{,}36 + 0{,}64 = 1 \ \text{ e }\ \operatorname{tg}(\alpha) \cdot \operatorname{tg}(\beta) = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = 1

Exercício resolvido 14

Determinado ângulo agudo $\alpha$ tem $\sen(\alpha) = \dfrac{2}{3}$ . Calcule o valor de $\operatorname{tg}\alpha$ .

Resolução

Sabemos que $\sen^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$ e que $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sen\alpha}{\cos\alpha}$ , assim como $\cos(\alpha) > 0$ , temos:

\begin{gather*} \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \cos^2(\alpha) = 1 \\ \cos^2(\alpha) = 1 - \frac{4}{9} = \frac{9 - 4}{9} \Rightarrow \cos^2(\alpha) = \frac{5}{9} \\ \cos(\alpha) = +\sqrt{\frac{5}{9}} \Rightarrow \cos(\alpha) = \frac{\sqrt{5}}{3} \end{gather*}

Logo: $\operatorname{tg}(\alpha) = \dfrac{\sen(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \dfrac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{\sqrt{5}}{3}} = \dfrac{2}{\sqrt{5}} \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

Além das três razões trigonométricas que acabamos de estudar, existem três outras razões entre as medidas dos lados de um triângulo retângulo, que são: a secante (sec), a cossecante (cossec) e a cotangente (cotg).

Embora se acredite que as primeiras razões trigonométricas, usadas na Antiguidade pelos babilônios e egípcios, tenham sido a secante e a cotangente, elas são, atualmente, chamadas de auxiliares e costumam ser definidas com base no seno, no cosseno ou na tangente.

Ângulos notáveis

Para alguns (poucos) ângulos, podemos calcular as razões trigonométricas com base em construções geométricas simples. São bastante conhecidas as construções para os ângulos de $30^\circ$ , $45^\circ$ e $60^\circ$ , conhecidos como ângulos notáveis. Existem outras construções para ângulos de $36^\circ$ , $18^\circ$ , $72^\circ$ , $15^\circ$ , $75^\circ$ , ..., entre outros. Aqui nos ateremos aos notáveis: $30^\circ$ , $45^\circ$ e $60^\circ$ .

Vamos usar novamente o triângulo notável $(30^\circ, 60^\circ, 90^\circ)$ .

Triângulo retângulo ABC com ângulo reto em B, ângulo de 30° em A e 60° em C; lados AC = 2a, AB = a√3 e BC = a.

No triângulo ABC, com $\operatorname{med}(\hat{A}) = 30^\circ$ , $\operatorname{med}(\hat{B}) = 90^\circ$ , $\operatorname{med}(\hat{C}) = 60^\circ$ , $AB = a\sqrt{3}$ , $BC = a$ e $AC = 2a$ , temos:

\begin{gather*} \sen(60^\circ) = \cos(30^\circ) = \frac{a\sqrt{3}}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos(60^\circ) = \sen(30^\circ) = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2} \\ \operatorname{tg}(30^\circ) = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \\ \operatorname{tg}(60^\circ) = \frac{a\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3} \end{gather*}

Agora, vamos utilizar o triângulo retângulo e isósceles, de ângulos $(45^\circ, 45^\circ, 90^\circ)$ e lados $(a, a, a\sqrt{2})$ .

Triângulo retângulo ABC com ângulo reto em C e ângulos de 45° em B e em A; catetos BC = a e CA = a e hipotenusa AB = a√2.

Da figura, obtemos:

\begin{gather*} \sen(45^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \operatorname{tg}(45^\circ) = \frac{a}{a} = 1 \end{gather*}

Podemos resumir esses resultados no quadro a seguir:

	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$
sen	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
cos	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$
tg	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$

Os valores dessa tabela são amplamente utilizados nos exames vestibulares no Brasil e, muitas vezes, não são fornecidos. Por isso, é recomendável que sejam memorizados.

Às vezes, temos dúvidas do tipo: “ao dobrarmos o ângulo, dobramos também o seno ou a tangente?”. Infelizmente, ângulos e suas respectivas razões trigonométricas não são proporcionais. Se fossem, teríamos absurdos como $\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sen(60^\circ) = \sen(2 \cdot 30^\circ) = 2 \cdot \sen(30^\circ) = 2 \cdot \dfrac{1}{2} = 1$ . Neste caso, o erro é: o seno de $60^\circ$ não é o dobro do seno de $30^\circ$ . Para calcular as razões trigonométricas, existem algumas construções elementares para poucos ângulos ( $15^\circ$ , $18^\circ$ , $30^\circ$ , $36^\circ$ , $45^\circ$ , $60^\circ$ , $75^\circ$ , ...), mas não para todos eles. Aliás, calcular uma razão trigonométrica de um ângulo agudo envolve várias técnicas matemáticas e experimentais diferentes, a maioria fora do escopo do Ensino Médio. Em geral, os resultados dessas razões são apresentados em tabelas trigonométricas. Veja um exemplo:

Tabela das razões trigonométricas
ângulo	sen	cos	tg	ângulo	sen	cos	tg	ângulo	sen	cos	tg	ângulo	sen	cos	tg
0	0,000	1,000	0,000	23	0,391	0,921	0,424	46	0,719	0,695	1,036	69	0,934	0,358	2,605
1	0,017	1,000	0,017	24	0,407	0,914	0,445	47	0,731	0,682	1,072	70	0,940	0,342	2,747
2	0,035	0,999	0,035	25	0,423	0,906	0,466	48	0,743	0,669	1,111	71	0,946	0,326	2,904
3	0,052	0,999	0,052	26	0,438	0,899	0,488	49	0,755	0,656	1,150	72	0,951	0,309	3,078
4	0,070	0,998	0,070	27	0,454	0,891	0,510	50	0,766	0,643	1,192	73	0,956	0,292	3,271
5	0,087	0,996	0,087	28	0,469	0,883	0,532	51	0,777	0,629	1,235	74	0,961	0,276	3,487
6	0,105	0,995	0,105	29	0,485	0,875	0,554	52	0,788	0,616	1,280	75	0,966	0,259	3,732
7	0,122	0,993	0,123	30	0,500	0,866	0,577	53	0,799	0,602	1,327	76	0,970	0,242	4,011
8	0,139	0,990	0,141	31	0,515	0,857	0,601	54	0,809	0,588	1,376	77	0,974	0,225	4,331
9	0,156	0,988	0,158	32	0,530	0,848	0,625	55	0,819	0,574	1,428	78	0,978	0,208	4,705
10	0,174	0,985	0,176	33	0,545	0,839	0,649	56	0,829	0,559	1,483	79	0,982	0,191	5,145
11	0,191	0,982	0,194	34	0,559	0,829	0,675	57	0,839	0,545	1,540	80	0,985	0,174	5,671
12	0,208	0,978	0,213	35	0,574	0,819	0,700	58	0,848	0,530	1,600	81	0,988	0,156	6,314
13	0,225	0,974	0,231	36	0,588	0,809	0,727	59	0,857	0,515	1,664	82	0,990	0,139	7,115
14	0,242	0,970	0,249	37	0,602	0,799	0,754	60	0,866	0,500	1,732	83	0,993	0,122	8,144
15	0,259	0,966	0,268	38	0,616	0,788	0,781	61	0,875	0,485	1,804	84	0,995	0,105	9,514
16	0,276	0,961	0,287	39	0,629	0,777	0,810	62	0,883	0,469	1,881	85	0,996	0,087	11,430
17	0,292	0,956	0,306	40	0,643	0,766	0,839	63	0,891	0,454	1,963	86	0,998	0,076	14,301
18	0,309	0,951	0,325	41	0,656	0,755	0,869	64	0,899	0,438	2,050	87	0,998	0,052	19,081
19	0,326	0,946	0,344	42	0,669	0,743	0,900	65	0,906	0,423	2,145	88	0,999	0,035	28,636
20	0,342	0,940	0,364	43	0,682	0,731	0,933	66	0,914	0,407	2,246	89	0,999	0,017	57,290
21	0,358	0,934	0,384	44	0,695	0,719	0,966	67	0,921	0,391	2,356	90	1,000	0,000	-
22	0,375	0,927	0,404	45	0,707	0,707	1,000	68	0,927	0,375	2,475

Vejamos alguns exercícios com problemas que envolvem razões trigonométricas.

Exercício resolvido 15

Considere o retângulo ABCD a seguir, em que a base mede 12 e a altura 5. Determine a distância do vértice A à diagonal $\overline{BD}$ .

Exercício resolvido 16

Unesp Um ciclista sobe, em linha reta, uma rampa com inclinação de 3 graus a uma velocidade constante de 4 metros por segundo. A altura do topo da rampa em relação ao ponto de partida é 30 m.

Triângulo retângulo representando a rampa: ponto de partida à esquerda, ângulo de 3° com a horizontal, topo da rampa à direita e cateto vertical de 30 m com ângulo reto marcado.

Use a aproximação $\sen 3^\circ = 0{,}05$ e responda. O tempo, em minutos, que o ciclista levou para percorrer completamente a rampa é:

Resolução

No triângulo retângulo da figura, sendo o comprimento da rampa em metros igual a $x$ , temos:

\sen 3^\circ = \frac{30}{x} \Rightarrow x = \frac{30}{\sen 3^\circ} \Rightarrow x = \frac{30}{0{,}05} \Rightarrow x = 600\ \text{m}

Como a velocidade do ciclista é de 4 m/s, o tempo que ele leva para subir a rampa é igual a:

\begin{gather*} v = \frac{\Delta S}{\Delta t} \Rightarrow \Delta t = \frac{\Delta S}{x} \Rightarrow \Delta t = \frac{600\ \text{m}}{4\ \text{m/s}} = 150\ \text{s} = \\ = 2\,\text{min}\,30\,\text{s} = 2{,}5\ \text{min} \end{gather*}

Resposta: alternativa A.

Exercício resolvido 17

Determine, em função das medidas $a$ e $b$ dos catetos do triângulo ABC, o lado do quadrado nele inscrito, como mostra a figura.

Triângulo retângulo ABC com ângulo reto em C, cateto BC = a (cota vertical) e cateto CA = b (cota horizontal), com um quadrado inscrito apoiado no vértice C.

Resolução

Sendo $x$ o lado do quadrado DEFC, então:

BD = a - x \ \text{ e }\ AF = b - x

Como $\overline{DE}$ é paralelo a $\overline{AF}$ , podemos afirmar que:

\operatorname{med}(B\hat{E}D) = \operatorname{med}(E\hat{A}F) = \alpha

Dos triângulos BDE e EFA, temos que $\operatorname{tg}(\alpha) = \dfrac{BD}{DE} = \dfrac{EF}{AF}$ .

Assim:

\begin{gather*} \frac{a - x}{x} = \frac{x}{b - x} \\ x \cdot x = (a - x)(b - x) \\ x^2 = ab - ax - bx + x^2 \\ 0 = ab - (a + b)x \\ (a + b)x = ab \\ x = \frac{ab}{a + b} \end{gather*}

Exercício resolvido 18

Faça uma tabela com os valores dos senos, cossenos e tangentes dos ângulos de $15^\circ$ e $75^\circ$ .

Resolução

Na figura, ABE é um triângulo equilátero e BCDE um quadrado, ambos de lados 2, enquanto M e N são os pontos médios de $\overline{BE}$ e $\overline{CD}$ .

No triângulo ABE, encontramos: $AB = BE = AE = 2$ e $\operatorname{med}(A\hat{B}E) = 60^\circ$ .

No quadrado BCDE, temos: $BC = CD = DE = BE = 2$ e $\operatorname{med}(C\hat{B}E) = 90^\circ$ .

Como $AB = BC = 2$ e $\operatorname{med}(A\hat{B}C) = \operatorname{med}(A\hat{B}E) + \operatorname{med}(E\hat{B}C) = 60^\circ + 90^\circ = 150^\circ$ , o triângulo ABC é isósceles com ângulos $(150^\circ, 15^\circ, 15^\circ)$ . Por esse motivo, $\operatorname{med}(A\hat{C}D) = \operatorname{med}(B\hat{C}D) - \operatorname{med}(B\hat{C}A) = 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ$ e $\operatorname{med}(C\hat{A}N) = 90^\circ - \operatorname{med}(A\hat{C}N) = 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ$ .

Temos que $\overline{AM}$ é altura do triângulo equilátero ABE, de lado 2; logo, $AM = \dfrac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ . Além disso, $MN = 2$ e $AN = MN + AM = 2 + \sqrt{3}$ .

No triângulo ANC, retângulo em N, temos que $CN = \dfrac{CD}{2} = \dfrac{2}{2} = 1$ e $AC^2 = CN^2 + AN^2$ . Logo:

\begin{gather*} AC^2 = 1^2 + \left(2 + \sqrt{3}\right)^2 \\ AC^2 = 1 + 4 + 4\sqrt{3} + 3 \\ AC^2 = 8 + 4\sqrt{3} \\ AC = \sqrt{8 + 4\sqrt{3}} \end{gather*}

Agora observe esta interessante identidade:

8 + 4\sqrt{3} = 6 + 2\sqrt{12} + 2 = 6 + 2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} + 2 = \left(\sqrt{6} + \sqrt{2}\right)^2

Dessa maneira, obtemos $AC = \sqrt{\left(\sqrt{6} + \sqrt{2}\right)^2} = \sqrt{6} + \sqrt{2}$ .

Ainda no triângulo ACN, encontramos:

\begin{gather*} \sen 75^\circ = \cos 15^\circ = \frac{AN}{AC} = \frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \\ = \frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{6} - 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{\left(\sqrt{6}\right)^2 - \left(\sqrt{2}\right)^2} = \\ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \end{gather*}

\begin{gather*} \cos 75^\circ = \sen 15^\circ = \frac{CN}{AC} = \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \\ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\left(\sqrt{6}\right)^2 - \left(\sqrt{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \end{gather*}

\operatorname{tg} 75^\circ = \frac{AN}{CN} = \frac{2 + \sqrt{3}}{1} = 2 + \sqrt{3}

\begin{gather*} \operatorname{tg} 15^\circ = \frac{CN}{AN} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \\ = \frac{2 - \sqrt{3}}{2^2 - \left(\sqrt{3}\right)^2} = 2 - \sqrt{3} \end{gather*}

Portanto:

	$15^\circ$	$75^\circ$
sen	$\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$	$\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
cos	$\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$	$\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$
tg	$2 - \sqrt{3}$	$2 + \sqrt{3}$

Transcrição conferida com a obra original (Matemática I, Poliedro, p. 216-229). Revisada em 07/09/2026. Encontrou um erro? Reportar erro

O triângulo retângulo

Noções iniciais

Ângulos e o ângulo reto

Definição de triângulo retângulo

Áreas

O teorema de Pitágoras

Triângulos pitagóricos

Triângulos notáveis

O triângulo retângulo e as razões trigonométricas

Ângulos notáveis

Questões para praticar