Função do 1º grau – Matemática (Matemática I, cap. 3)

Quanto custará uma corrida de táxi ou quanto pagarei de celular este mês? Respostas para questões simples como essas dependem de muitas variáveis. Trajeto e extensão, tarifa por minuto e minutos utilizados interferem, respectivamente, na primeira e na segunda resposta. Há diversos outros fatores que podem alterar esses valores, mas é em momentos corriqueiros como esses que a Matemática surge como ferramenta, pois, com a criação de alguns modelos, podemos identificar leis que regem alguns comportamentos. Verificando como algumas variáveis se relacionam, podemos antecipar seus resultados. Coletando dados de grandezas que variam linearmente, é possível utilizar uma reta que equacione essa relação. Por meio dessa reta, podemos prever valores que extrapolam os dados observados e que seguem a mesma variação. Para isso, precisamos conhecer as características e propriedades da função do 1º grau.

Função polinomial do 1º grau

Definição

Uma função será chamada de função do 1º grau (ou função polinomial do 1º grau) quando sua lei de formação tiver a forma:

Exemplos:

$f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = 2x + 3$
$g\colon \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$ , $g(x) = -4x + 5$
$h\colon \mathbb{R}_+^* \to \mathbb{R}$ , $h(x) = 6x$

Toda função do 1º grau também pode ser chamada de função afim.

Gráfico

O gráfico de uma função do 1º grau é uma reta. Para obtê-lo, precisamos determinar ao menos dois pontos, atribuindo valores para $x$ ou para $y$ .

Exemplos:

$\begin{cases} f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\ y = 3x - 3 \end{cases}$
para $x = 0$ , temos $y = 3 \cdot 0 - 3 = -3 \to A(0, -3)$
para $x = 1$ , temos $y = 3 \cdot 1 - 3 = 0 \to B(1, 0)$
para $x = 2$ , temos $y = 3 \cdot 2 - 3 = 3 \to C(2, 3)$
$x$ $y$
0 $-3$
1 0
2 3
$\begin{cases} g\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\ y = -2x + 4 \end{cases}$
para $x = 0$ , temos $y = -2 \cdot 0 + 4 = 4 \to D(0, 4)$
para $x = 1$ , temos $y = -2 \cdot 1 + 4 = 2 \to E(1, 2)$
para $x = 2$ , temos $y = -2 \cdot 2 + 4 = 0 \to F(2, 0)$
$x$ $y$
0 4
1 2
2 0

Vale destacar, novamente, que apenas dois pontos são suficientes para definir as retas.

Coeficiente linear

Na função $y = ax + b$ , o termo independente $b$ ( $b \in \mathbb{R}$ ) é chamado de coeficiente linear.

O coeficiente linear pode ser obtido fazendo-se $x = 0$ ou observando o ponto em que o gráfico intersecta o eixo das ordenadas. Isso ocorre no ponto $(0, b)$ .

Exemplos:

$y = 3x - 3$ , temos $b = -3$ .
$y = -2x + 4$ , temos $b = 4$ .

Coeficiente angular

Na função $y = ax + b$ , o coeficiente $a$ é chamado de coeficiente angular.

Observando o gráfico a seguir da função $y = 2x + 1$ em que $a = 2$ , nota-se que, percorrendo a reta da esquerda para a direita, para cada aumento de 1 unidade no valor de $x$ , o valor de $y$ aumenta 2 unidades. Essa relação corresponde ao coeficiente angular da função.

Gráfico quadriculado da reta y = 2x + 1 (a = 2 e b = 1) com os pontos P(0, 1), Q(1, 3), R(2, 5) e S(3, 7); setas vermelhas +1 no eixo x entre 0, 1, 2 e 3 e setas vermelhas +2 no eixo y entre 1, 3, 5 e 7.

O mesmo observa-se no gráfico a seguir da função $y = -\dfrac{1}{2}x + 1$ em que $a = -\dfrac{1}{2}$ . Novamente, percorrendo a reta da esquerda para a direita, para cada aumento de 1 unidade no valor de $x$ , o valor de $y$ diminui de $\dfrac{1}{2}$ unidade. Isso ocorre porque o coeficiente angular é negativo.

Gráfico quadriculado da reta decrescente y = −1/2 x + 1 (a = −1/2 e b = 1) com os pontos P(0, 1), Q(1, 1/2) e R(2, 0); setas vermelhas +1 no eixo x entre 0, 1 e 2 e setas vermelhas −1/2 no eixo y entre 1, 1/2 e 0.

Quando o coeficiente angular é positivo, a função é crescente; quando é negativo, a função é decrescente.

$a > 0 \to$ função crescente

$a < 0 \to$ função decrescente

Assim, o coeficiente angular mede a variação dos valores de $y$ em relação aos valores de $x$ .

Dados dois pontos $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$ , podemos calcular o coeficiente angular a partir de:

Exercício resolvido 1

Calcule o coeficiente angular da função do 1º grau que passa pelos pontos abaixo e verifique se a função é crescente ou decrescente:

$A(1, 5)$ e $B(3, 11)$ .
$C(4, 10)$ e $D(7, 5)$ .

Equacionando com a função do 1º grau

Para obtermos uma função do 1º grau, devemos conhecer pelo menos dois pontos do gráfico ou um dos coeficientes e um ponto do gráfico.

Exercício resolvido 2

Defina a função do 1º grau que passa pelos pontos $(2, -1)$ e $(4, 3)$ .

Resolução 1:

Sendo a função da forma $y = ax + b$ , temos:

\begin{array}{ll} (2, -1) \to -1 = a \cdot 2 + b \\ (4, 3) \to 3 = a \cdot 4 + b \end{array} \Rightarrow \begin{cases} 2a + b = -1 & \text{(I)} \\ 4a + b = 3 & \text{(II)} \end{cases}

Fazendo (II) $-$ (I), temos: $2a = 4 \Rightarrow a = 2$ .

Substituindo $a = 2$ em (I): $2 \cdot 2 + b = -1 \Rightarrow b = -5$ .

Portanto, a função é $y = 2x - 5$ .

Resolução 2:

Vamos determinar o coeficiente angular:

a = \frac{3 - (-1)}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2 \Rightarrow y = 2x + b

Substituindo (qualquer) um dos pontos na função, por exemplo $(4, 3)$ :

y = 2x + b \Rightarrow 3 = 2 \cdot 4 + b \Rightarrow b = -5

Logo, a função é $y = 2x - 5$ .

Quando se diz que “uma grandeza varia linearmente com outra”, ou seja, que sua variação é constante, entendemos que há uma função do 1º grau que relaciona as duas.

Exercício resolvido 3

Suponha que a pressão atmosférica aumente 1 atm a cada 10 m de profundidade em um mergulho. Se na superfície do mar a pressão é de 1 atm, qual será seu valor a 22 metros de profundidade?

Resolução

A função que relaciona as grandezas tem a forma $\mathrm{P} = ax + b$ , sendo P a pressão atmosférica e $x$ a profundidade.

A informação “aumenta 1 atm a cada 10 m” corresponde ao coeficiente angular da função:

a = \frac{\text{variação da pressão}}{\text{variação da profundidade}} \Rightarrow a = \frac{1\text{ atm}}{10\text{ m}} = 0{,}1\text{ atm/m}

Assim: $\mathrm{P} = 0{,}1x + b$ .

Na superfície, a pressão é de 1 atm, ou seja, $\mathrm{P} = 1$ para $x = 0$ , logo:

1 = 0{,}1 \cdot 0 + b \Rightarrow b = 1

Obtemos o valor da pressão a 22 metros de profundidade substituindo $x = 22$ na função $\mathrm{P} = 0{,}1x + 1$ :

\mathrm{P} = 0{,}1 \cdot 22 + 1 = 2{,}2 + 1 = 3{,}2

Portanto, a pressão é $\mathrm{P} = 3{,}2$ atm.

Exercício resolvido 4

A taxa de inscrição em um curso decresce linearmente com o tempo. Uma pessoa que se matriculou após 2 meses do início pagou uma taxa de R$ 186,00, e outra que entrou após 5 meses pagou R$ 150,00. Quanto pagaria uma pessoa após um mês do início do curso?

Resolução

Considerando V o valor em reais da taxa que deve ser paga após 1 mês do início do curso, temos alguns dos pontos pertencentes à função do 1º grau: $A(2, 186)$ , $B(5, 150)$ e $C(1, \mathrm{V})$ .

Como o coeficiente angular é único, temos:

\begin{align*} \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} &\Rightarrow \frac{150 - 186}{5 - 2} = \frac{\mathrm{V} - 186}{1 - 2} \Rightarrow \\ \Rightarrow \frac{-36}{3} = \frac{\mathrm{V} - 186}{-1} &\Rightarrow 3\mathrm{V} - 558 = 36 \Rightarrow \mathrm{V} = 198 \end{align*}

Portanto, após 1 mês do início do curso, uma pessoa pagaria a taxa de R$ 198,00.

Raiz da função

A raiz da função do 1º grau é o valor de $x$ no ponto em que o gráfico “corta” o eixo das abscissas. Nesse ponto, temos $y = 0$ .

Exemplos:

A raiz da função $y = 2x - 10$ é o valor de $x$ para que $2x - 10 = 0$ , ou seja, $x = 5$ .
A raiz da função $y = 3x + 14$ é o valor de $x$ para que $3x + 14 = 0$ , ou seja, $x = -\dfrac{14}{3}$ .

Estudo do sinal de uma função

Estudar o sinal da função corresponde a analisar o sinal da variável $y$ para os intervalos de $x$ . Quando o gráfico está acima do eixo das abscissas, a função assume valores positivos; quando está abaixo desse eixo, ela assume valores negativos.

Conhecidos a raiz e o sinal do coeficiente angular de uma função, já temos as informações necessárias para elaborarmos o estudo do sinal.

Exemplos:

$y = 2x - 8$
Sendo $a = 2$ o coeficiente angular, concluímos que a função é crescente.
A raiz da função é: $2x - 8 = 0 \Rightarrow x = 4$ .
O gráfico da função será da forma:
Assim, o estudo do sinal da função será:
$\begin{cases} \text{se } x > 4, \text{ então } y > 0 \\ \text{se } x = 4, \text{ então } y = 0 \\ \text{se } x < 4, \text{ então } y < 0 \end{cases}$
$y = -3x + 9$
Sendo $a = -3$ o coeficiente angular, concluímos que a função é decrescente.
A raiz da função é: $-3x + 9 = 0 \Rightarrow x = 3$ .
O gráfico da função será da forma:
O estudo do sinal da função será:
$\begin{cases} \text{se } x > 3, \text{ então } y < 0 \\ \text{se } x = 3, \text{ então } y = 0 \\ \text{se } x < 3, \text{ então } y > 0 \end{cases}$

Grandezas proporcionais

Ao obtermos pares ordenados $(x, y)$ que relacionam duas grandezas, se as razões $\dfrac{x}{y}$ forem sempre iguais, diremos que essas grandezas são diretamente proporcionais.

Supondo que uma lanchonete venda doces a R$ 6,00, a quantidade de doces comprados e o valor a ser pago por eles são grandezas diretamente proporcionais.

Quantidade ( $x$ )	1	2	3	4	…
Valor pago ( $y$ )	6	12	18	24	…

Note que $\dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{12} = \dfrac{3}{18} = \dfrac{4}{24} = \ldots$ , ou seja, $\dfrac{x}{y}$ é constante.

O gráfico dessa função é representado pela reta $y = 6x$ , uma função do 1º grau passando pela origem.

Gráfico da reta verde y = 6x partindo da origem, com os pontos (1, 6), (2, 12), (3, 18) e (4, 24) marcados e ligados aos eixos por linhas tracejadas; eixo y graduado em 6, 12, 18 e 24; eixo x em 1, 2, 3 e 4.

Se essa mesma lanchonete passasse a cobrar uma taxa extra de R$ 5,00 de estacionamento, para quem fosse de carro ou moto, os novos valores pagos por esses clientes seriam:

Quantidade ( $x$ )	1	2	3	4	…
Valor pago ( $y$ )	11	17	23	29	…

Note que $\dfrac{1}{11} \neq \dfrac{2}{17} \neq \dfrac{3}{23} \neq \dfrac{4}{29} \ldots$ e as grandezas não são mais proporcionais porque a razão $\dfrac{x}{y}$ não é constante.

Se considerarmos a razão entre a variação da quantidade de doces e a variação dos valores a pagar, temos:

\frac{\text{variação da quantidade de doces}}{\text{variação dos valores a pagar}} = \text{constante}

Note:

\begin{align*} \frac{2 - 1}{17 - 11} = \frac{3 - 2}{23 - 17} = \frac{4 - 3}{29 - 23} = \frac{3 - 1}{23 - 11} = \frac{4 - 1}{29 - 11} = {} \\ = \frac{4 - 2}{29 - 17} = \ldots = \frac{1}{6} \end{align*}

Concluímos que as grandezas $x$ e $y$ não são proporcionais, mas as variações $\Delta x$ e $\Delta y$ são diretamente proporcionais, ou seja, a cada aumento de uma unidade, a conta aumenta R$ 6,00.

O gráfico dessa função é representado pela reta $y = 6x + 5$ , uma função do 1º grau que não passa pela origem.

Gráfico (fora de escala) da reta vermelha y = 6x + 5 com os pontos (0, 5), (1, 11), (2, 17), (3, 23) e (4, 29) ligados aos eixos por linhas tracejadas; setas vermelhas +1 no eixo x entre 0, 1, 2, 3 e 4 e setas vermelhas +6 no eixo y entre 5, 11, 17, 23 e 29.

Saiba mais

Dizemos que uma sequência numérica é uma progressão aritmética (PA) quando cada termo, a partir do segundo, é igual ao termo anterior adicionado a uma constante chamada de razão da PA (você futuramente estudará as progressões aritméticas e geométricas mais detalhadamente).

Por exemplo: $(3, 7, 11, 15, 19, \ldots)$ é uma progressão aritmética de primeiro termo 3 e razão 4.

Considerando uma função afim $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = 2x - 1$ , podemos observar que $(f(3), f(7), f(11), f(15), f(19), \ldots)$ também é uma PA. De fato, note que, sendo $f(x) = 2x - 1$ , temos: $f(3) = 5$ , $f(7) = 13$ , $f(11) = 21$ , $f(15) = 29$ , $f(19) = 37$ … e que a sequência $(5, 13, 21, 29, 37, \ldots)$ é uma PA de primeiro termo 5 e razão 8.

De modo geral, sendo $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ e $(x_1, x_2, x_3, x_4, \ldots)$ elementos de uma PA de razão $r$ , $f$ é uma função afim se, e somente se, $(f(x_1), f(x_2), f(x_3), f(x_4), \ldots)$ é uma PA de razão $a \cdot r$ , em que $a$ é o coeficiente angular de $f$ .

Transcrição conferida com a obra original (Matemática I, Poliedro, p. 43-47). Revisada em 07/09/2026. Encontrou um erro? Reportar erro

Função polinomial do 1º grau

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Coeficiente linear

Coeficiente angular

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Raiz da função

Estudo do sinal de uma função

Grandezas proporcionais

Questões para praticar