Função inversa e função composta

O trabalho com funções envolve, geralmente, a análise de leis específicas que relacionam dois conjuntos. Nesse contexto, muitas vezes precisamos encontrar o “caminho inverso percorrido por uma função”, isto é, a função que leva cada elemento da imagem da função original ao seu respectivo elemento do domínio. Também é comum necessitarmos encontrar uma função que corresponda à aplicação de várias funções em sequência. Essas ações ajudam a simplificar certos cálculos e a compreender melhor situações contextualizadas que envolvem funções.

Neste capítulo, trabalharemos as ferramentas que nos ajudam a realizar essas tarefas: a função inversa e a função composta.

Função inversa

A função inversa é aquela que “desfaz o que outra fez”: por exemplo, se uma função $f$ é tal que $f(a) = b$, então sua inversa $g$, se existir, é tal que $g(b) = a$. Por exemplo, qual é a função inversa de uma função que calcula o dobro de um número? É aquela que calcula a metade do número. Ou, então, qual é a função inversa de uma função que adiciona 3 a um número? É aquela que subtrai 3 daquele número.

Geralmente, representamos a função inversa de uma função $f$ por $f^{-1}$.

Observe o diagrama de flechas a seguir, que representa uma função $f$.

A função $f$ pode ser descrita por $f\colon A \to B$, $f = \{(1, 5), (2, 8), (3, 11)\}$ e a sua inversa por $f^{-1}\colon B \to A$, $f^{-1} = \{(5, 1), (8, 2), (11, 3)\}$. Podemos representar o diagrama de flechas para a função $f^{-1}$ da seguinte maneira:

Observe a representação das duas funções no diagrama de flechas e como conjunto de pares ordenados e perceba as seguintes alterações:

• troca de domínio e imagem; isto é, o domínio de uma função é a imagem de sua inversa, e vice-versa;
• troca de posições entre $x$ e $y$ nos pares ordenados;
• inversão do sentido das flechas no diagrama de flechas.

Cálculo da função inversa

Para calcular a lei de formação da função inversa, devemos:

• trocar as variáveis $x$ por $y$, e vice-versa;
• isolar a nova variável $y$.

Exemplos:

1. $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x + 1$:

   $$y = 2x + 1$$
   $$x = 2y + 1 \Rightarrow -2y = -x + 1 \Rightarrow y = \frac{x - 1}{2}$$

   Logo, $f^{-1}\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f^{-1}(x) = \dfrac{x - 1}{2}$.

2. $g\colon \mathbb{R} - \{-2\} \to \mathbb{R} - \{1\}$, $g(x) = \dfrac{x - 1}{x + 2}$

   $$y = \frac{x - 1}{x + 2}$$
   $$x = \frac{y - 1}{y + 2} \Rightarrow y - 1 = xy + 2x \Rightarrow y - xy = 2x + 1 \Rightarrow y(1 - x) = 2x + 1 \Rightarrow y = \frac{2x + 1}{1 - x}$$

   Logo, $g^{-1}\colon \mathbb{R} - \{1\} \to \mathbb{R} - \{-2\}$, $g^{-1}(x) = \dfrac{2x + 1}{1 - x}$.

Gráfico da função inversa

O gráfico de uma função e da sua inversa são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares. A inversão $x \rightleftarrows y$ gerou essa simetria.

Exemplo: Considere as funções $f(x) = 2x + 1$ e $f^{-1}(x) = \dfrac{x - 1}{2}$.

Essa simetria mostra que a bissetriz dos quadrantes ímpares funciona como um “espelho”, e uma das funções seria o “reflexo” da outra.

Note que os pontos $(2, 5)$ e $(5, 2)$ são equidistantes da bissetriz, ou seja, o ponto médio do segmento determinado por eles pertence à bissetriz. O mesmo ocorre para os pontos $(1, 3)$ e $(3, 1)$ e para todos os pares de pontos obtidos da troca de $x$ com $y$.

Condição de existência da função inversa

Para existir $f^{-1}$, a função $f$ deve ser bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora. Essa condição garante que a função $f^{-1}$ será de fato uma função.

Por exemplo, se tomarmos a mesma lei de função do exercício resolvido anterior, $f(x) = x^2$, mas considerarmos como domínio o conjunto $\mathbb{R}$, essa função não tem inversa, pois não é injetora, afinal $f(2) = f(-2) = 4$. Observe que, por exemplo, ao fazermos a inversão das coordenadas dos pontos $(2, 4)$ e $(-2, 4)$, que pertencem a $f$, temos $(4, 2)$ e $(4, -2)$. Se existisse a inversa $f^{-1}$, esses dois pares pertenceriam a $f^{-1}$ e, para $x = 4$, teríamos dois valores de $y$ para o mesmo valor de $x$, o que contradiz uma das características de uma função: “cada $x$ se associa a um único $y$”.

No entanto, fazendo restrições ao domínio e ao contradomínio, algumas funções passam a admitir a existência de inversa. A inversa de $g\colon \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$, dada pela lei $g(x) = x^2$, é $g^{-1}\colon \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$, com $g^{-1}(x) = \sqrt{x}$. Assim, deixando de considerar os números negativos de $x$, a função $y = x^2$ admite inversa.

Domínio, contradomínio e imagem de uma função inversa

Se a função $f$ admite inversa, ela é sobrejetora, logo o contradomínio é igual à imagem.

Nesse caso, para a função $f\colon A \to B$, podemos chamar o conjunto $B$ de imagem da função $f$. Na inversa, temos $f^{-1}\colon B \to A$ e concluímos:

Função composta

Muitas vezes, trabalhamos com a ideia de função composta sem perceber. Por exemplo, multiplicar um número $N$ por 2 e com esse resultado efetuar outra multiplicação por 3 é o mesmo que calcular $N \cdot 6$, ou seja, substituímos duas operações por uma só.

De maneira análoga, uma função composta é uma função que é equivalente à aplicação de duas (ou mais) funções em sequência.

Por exemplo, dadas as funções $f(x) = x^2 + 1$ e $g(x) = 2x + 3$, podemos montar o seguinte quadro:

Qual é a lei da função $h$ que relaciona os elementos da primeira coluna diretamente aos da terceira? Analisando o quadro, observamos que, dado um elemento $x$, a passagem da primeira para a segunda coluna e da segunda para a terceira coluna é dada por $x \to f(x) = k \to g(k)$ ou $x \to f(x) \to g(f(x))$. Então, temos $h(x) = g(f(x))$.

Com as leis $f(x) = x^2 + 1$ e $g(x) = 2x + 3$ das duas funções, podemos obter a lei de $g(f(x))$:

Assim, a lei da função é $h(x) = g(f(x)) = 2x^2 + 5$. Essa função é chamada de composta de $g$ com $f$ e é representada por $g \circ f$.

Perceba que, calculando $g \circ f(x)$ para os valores de $x$ da primeira coluna, obtemos os da terceira, “pulando” os valores da segunda coluna:

Domínio da função composta

Para existir a função $g \circ f(x)$ (composta de $g$ com $f$), a imagem de $f$ deve estar contida no domínio de $g$. Também podemos dizer que os possíveis valores de $f(x)$ devem respeitar as condições de existência de $g(x)$.

Por exemplo, dadas as funções $g\colon \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$, $g(x) = \sqrt{x}$, e $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x$, não existe a composta $g \circ f(x)$, pois a imagem de $f$ é $\mathbb{R}$ e o domínio de $g(x)$ é $\mathbb{R}_+$. Observe que, escrevendo $g \circ f(x) = \sqrt{2x}$, não podemos calcular $g \circ f(-3)$.

Se os domínios e contradomínios não estiverem definidos, calculamos a função composta impondo as restrições necessárias para que ela exista.

Propriedades da função composta

• A composição de uma função com sua inversa resulta na função identidade (função que a cada elemento $x \in \mathbb{R}$ associa o próprio $x$ isto é, $f(x) = x$); ou seja, a composta de uma função com sua inversa leva um número a ele mesmo. “O dobro da metade”, “subtrair 1 do número ao qual anteriormente foi adicionado 1” são exemplos de composição entre uma função e sua inversa.

  $$f^{-1} \circ f(x) = f \circ f^{-1}(x) = x$$

• Quando temos a composição entre três ou mais funções, podemos aplicar a propriedade associativa. Podemos iniciar a composição pelas funções mais internas ou mais externas da notação, mas sem inverter a ordem das funções.

  $$h \circ g \circ f(x) = h(g(f(x))) = h \circ g(f(x)) = h(g \circ f(x))$$

• A função inversa de uma função composta é a composta das inversas, na ordem contrária.

  $$(g \circ f)^{-1}(x) = f^{-1} \circ g^{-1}(x)$$

  Exemplo: Considere as funções $f(x) = x - 1$ e $g(x) = 2x$. As funções inversas são $f^{-1}(x) = x + 1$ e $g^{-1}(x) = \dfrac{x}{2}$.