Função exponencial

Os fenômenos que podem ser interpretados por meio de uma função exponencial são aqueles que apresentam crescimento ou decrescimento em progressão geométrica, por exemplo o crescimento bacteriano em condições ideais (como mostra a cultura em uma placa de ágar), o decaimento de elementos radioativos, o aumento no número de infectados na fase inicial de uma epidemia, entre outros. Por isso, a aplicação de conceitos de função exponencial em contextos como esses permite a análise do comportamento atual e futuro desses fenômenos, o que é útil para diversas áreas do conhecimento. Estudaremos neste capítulo equações e funções exponenciais, gráficos dessas funções e outros fundamentos desse importante conceito.

Revisão de potenciação

Potência de expoente natural

Considerando um número $a$, real, e $n$, um número natural, com $n \geq 2$, a potência de base $a$ e expoente $n$ é o número $a^n$, de tal forma que:

Potência de expoente inteiro negativo

Considerando, agora, um número $a$ real, não nulo, e um número $n$ inteiro, a potência de base $a$ e expoente $-n$ é o número $a^{-n}$, que é o inverso de $a^n$. Ou seja:

Potência de expoente racional

Vamos agora relembrar o significado que pode ser dado à potência $a^t$, quando $t$ é um número racional. Considerando que $t = \dfrac{m}{n}$, sendo $m$ um número inteiro e $n$ um número natural ($n \geq 1$), temos:

Propriedades

Essas propriedades são válidas para as situações expressas anteriormente, considerando dois números reais $a$ e $b$, e dois números reais não nulos $m$ e $n$. Observe:

1. $a^m \cdot a^n = a^{m + n}$
2. $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m - n}$ $(a \neq 0)$
3. $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
4. $(a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m$
5. $\left(\dfrac{a}{b}\right)^m = \dfrac{a^m}{b^m}$ $(b \neq 0)$

Equações exponenciais

Equações exponenciais são equações em que a incógnita aparece no expoente de pelo menos uma de suas potências. Por exemplo:

1. $2^x = 8$
2. $3^x - 1 = 5$
3. $5^{x - 3} + 25 = 0$

Veremos mais adiante que as funções exponenciais são injetoras, isto é, para cada resultado de uma potência, só existe um expoente possível, ou seja, para $a > 0$ e $a \neq 1$, temos:

Exemplos:

1. $2^x = 2^4 \Rightarrow x = 4$
2. $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2x} = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{6} \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3$

Resolução de equações exponenciais com substituição de variáveis

Para resolver algumas equações exponenciais, como aquelas que apresentam adição ou subtração de potências, pode ser interessante utilizar uma variável auxiliar.

Funções exponenciais

Função exponencial é toda função $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}_+^*$, tal que $f(x) = a^x$, com $a \in \mathbb{R}$, $a > 0$ e $a \neq 1$.

Exemplos:

1. $f(x) = 3^x$
2. $g(x) = (0{,}8)^x$
3. $y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$
4. $f(x) = \sqrt{2}^{\,x}$

Gráfico da função exponencial

No estudo do gráfico das funções exponenciais, dividimos as funções em dois casos: $0 < a < 1$ e $a > 1$.

Base maior do que 1 ($a > 1$)

Tomemos, como exemplo, a função exponencial $f(x) = 2^x$. Vamos atribuir alguns valores para $x$, calcular os respectivos valores de $y$ e construir o gráfico da função:

Com base no gráfico, notamos que a função $f$:

• é crescente, ou seja, aumentando os valores de $x$, os valores de $y$ também aumentam. Também podemos expressar isso da seguinte maneira:

  $$x_1 > x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$$

• é injetora: diferentes valores de $x$ correspondem a diferentes valores de $y$:

  $$x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)$$

• tem como conjunto imagem os números reais positivos:

  $$\operatorname{Im}(f) = \mathbb{R}_+^*$$
• é sobrejetora, ou seja, para todo $y \in \operatorname{Im}(f) = \mathbb{R}_+^*$, existe $x \in D(f)$ tal que $f(x) = y$.

Essas quatro características valem para todas as funções exponenciais cuja base é maior do que 1.

Base entre 0 e 1 ($0 < a < 1$)

Como exemplo, tomemos a função $g(x) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$. Novamente iremos atribuir valores para $x$, calcular os respectivos valores de $y$ e construir o gráfico da função:

Comparando o gráfico da função $f$ e o gráfico da função $g$, percebemos que este último é o resultado da reflexão do gráfico de $f(x)$ em relação ao eixo $y$.

Observando o gráfico, notamos que a função $g$:

• é decrescente, ou seja, aumentando os valores de $x$, os valores de $y$ diminuem:

  $$x_1 > x_2 \Rightarrow g(x_1) < g(x_2)$$

• é injetora: diferentes valores de $x$ correspondem a diferentes valores de $y$.

  $$x_1 \neq x_2 \Rightarrow g(x_1) \neq g(x_2)$$

• tem como conjunto imagem os números reais positivos:

  $$\operatorname{Im}(g) = \mathbb{R}_+^*$$
• é sobrejetora: ou seja, para todo $y \in \operatorname{Im}(g) = \mathbb{R}_+^*$, existe $x \in D(g)$ tal que $g(x) = y$.

Assim como no caso anterior, essas quatro características valem para toda função exponencial de base entre 0 e 1.

Translação e reflexão de gráficos

Vimos em capítulos anteriores os gráficos de funções do 1^o e 2^o graus, além do gráfico da função exponencial. Vamos apresentar algumas alterações que podem ajudar na construção e na interpretação de gráficos.

Translação vertical

Adicionando uma constante à lei de uma função conhecida, seu gráfico sofrerá uma translação vertical, mantendo seu formato. Isso significa que, dada uma função $f$, o gráfico da função $g$ definida por $g(x) = f(x) + k$, $k \in \mathbb{R}$, tem o mesmo formato do gráfico $f$, mas transladado verticalmente. Se $k > 0$, desloca-se para cima; se $k < 0$, para baixo.

Exemplo:

• Sendo $f(x) = 2x$, vamos obter o gráfico de $g(x) = 2x + 2$. Perceba que $g(x) = f(x) + 2$.

Translação horizontal

Substituindo as ocorrências de $x$ na lei de uma função por $x + k$, $k \in \mathbb{R}$, o gráfico sofrerá uma translação horizontal, mantendo seu formato. Isso significa que, dada uma função $f$, o gráfico da função $g$ definida por $g(x) = f(x + k)$ tem o mesmo formato do gráfico $f$, mas transladado horizontalmente. Se $k > 0$, desloca-se para a esquerda; se $k < 0$, para a direita.

Exemplo:

• Sendo $f(x) = x^2 + 1$, vamos obter o gráfico de $g(x) = f(x - 3) = (x - 3)^2 + 1$.

Na construção do quadro de valores da função $g$, adotaremos valores de $x$ três unidades maiores do que os usados no quadro de $f$ para obtermos valores iguais na segunda linha de ambos os quadros. De fato, temos, por exemplo, $g(5) = f(5 - 3) = f(2)$, $g(3) = f(3 - 3) = f(0)$ etc.

Reflexão em relação ao eixo $x$

Dada uma função $f$, o gráfico da função $g$ definida por $g(x) = -f(x)$ é obtido pela reflexão, em relação ao eixo das abscissas, do gráfico de $f$.

Exemplo:

Sendo $f(x) = x^2 - 4x + 3$, vamos obter o gráfico de $g(x) = -f(x) = -x^2 + 4x - 3$.

Reflexão em relação ao eixo $y$

Substituindo as ocorrências de $x$ na lei de uma função por $-x$, seu gráfico sofrerá uma reflexão em relação ao eixo $y$. Isso significa que, dada uma função $f$, o gráfico da função $g$ definida por $g(x) = f(-x)$ tem o mesmo formato do gráfico $f$, mas refletido em torno do eixo das ordenadas.

Exemplo:

Sendo $f(x) = 2^x$, vamos obter o gráfico de $g(x) = f(-x) = 2^{-x}$.

Inequações exponenciais

Inequações exponenciais são inequações que apresentam incógnitas no expoente e nas quais as bases são números reais positivos diferentes de 1.

Exemplos:

1. $2^x > 5$
2. $3^{x^2} < \dfrac{1}{9}$
3. $5^x + 5^{x + 1} \geq 10$

Assim como feito para construir o gráfico de uma função exponencial, vamos analisar os dois casos:

1^o) Quando $a > 0$ (função crescente).

Observando o gráfico, vemos que, se $a^{x_1} > a^{x_2}$, então $x_1 > x_2$. Ou seja, considerando a mesma base, quando aumentamos o expoente, a potência também aumenta.

Exemplos:

2^o) Quando $0 < a < 1$ (função decrescente).

Observando o gráfico, vemos que, se $a^{x_1} > a^{x_2}$, então $x_1 < x_2$. Ou seja, considerando a mesma base, quando diminuímos o expoente, a potência aumenta.

Exemplos: