Função do 2º grau

O lançamento oblíquo, antenas parabólicas, espelhos de lanternas e faróis, cálculos de áreas máximas em figuras de perímetro constante são alguns dos exemplos práticos que utilizam funções do 2º grau (ou quadráticas), e sua conexão com a figura que a representa no plano cartesiano, a parábola, é imediata.

Girando uma parábola ao redor de seu eixo de simetria, obtém-se um paraboloide elíptico, uma superfície espacial com características geométricas especiais e inúmeras aplicações em nosso dia a dia. A superfície de uma antena parabólica tem esse formato, e as ondas eletromagnéticas que chegam até a superfície da antena convergem para um ponto único, chamado foco.

Neste capítulo, estudaremos a resolução de equações do 2º grau e inequações do 1º grau e como se comporta a função quadrática, suas características e aplicações a situações do nosso cotidiano.

Relembrando as equações do 1º grau

No estudo das equações e das funções do 2º grau, utilizamos muitas técnicas das equações do 1º grau. Por isso, veremos brevemente alguns conceitos.

Discussão da equação do 1º grau

Discutir uma equação é fazer uma análise sobre a quantidade de raízes dessa equação. A equação do 1º grau $ax = b$ tem as seguintes possibilidades:

• se $a \neq 0$ e $b \in \mathbb{R}$, então a equação tem uma única raiz (por exemplo, $2x = -4$ ou $-3x = 0$);
• se $a = 0$ e $b = 0$, então a equação tem um número infinito de raízes ($0x = 0$). Qualquer valor real de $x$ torna a sentença verdadeira;
• se $a = 0$ e $b \neq 0$, então a equação não tem nenhuma raiz (por exemplo, $0x = 4$ ou $0x = -2$). Não há valores de $x$ que tornam a sentença verdadeira.

Equações produto

Quando um produto é igual a zero? Já ouvimos essa pergunta muitas vezes, e a resposta é simples: quando um dos fatores for zero. Podemos escrever:

Estendendo isso para equações, temos:

Equação do 2º grau

As equações completas do 2º grau têm a seguinte forma: $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$).

As raízes dessa equação são obtidas por uma fórmula resolutiva, utilizando o discriminante $\Delta$. Há muita discussão entre matemáticos (principalmente brasileiros) quanto à utilização do nome “fórmula de Bháskara”, amplamente utilizado no Brasil.

Veja como resolver a equação a seguir utilizando a fórmula resolutiva.

Para $c = 0$, temos uma equação incompleta do 2º grau e podemos utilizar a fatoração para transformar essa equação em uma equação produto.

Exemplo:

Para $b = 0$, também temos uma equação incompleta do 2º grau e podemos isolar a variável da equação para resolvê-la mais rapidamente.

Exemplo:

Discussão de uma equação do 2º grau

A discussão de uma equação do 2º grau é feita analisando-se o valor do discriminante. Para a equação do tipo $ax^2 + bx + c = 0$, com $a \neq 0$, temos:

• se $\Delta > 0$, a equação tem duas raízes reais e distintas;
• se $\Delta = 0$, a equação tem uma raiz dupla ou duas raízes reais e iguais;
• se $\Delta < 0$, a equação não tem raízes reais.

Exemplo: Considere a equação do 2º grau $mx^2 - 2x + 1 = 0$, com $m \neq 0$:

• $\Delta > 0 \Rightarrow 4 - 4m > 0 \Rightarrow m < 1$ e $m \neq 0 \to$ duas raízes reais e distintas;
• $\Delta = 0 \Rightarrow 4 - 4m = 0 \Rightarrow m = 1 \to$ uma raiz dupla (ou duas raízes reais iguais);
• $\Delta < 0 \Rightarrow 4 - 4m < 0 \Rightarrow m > 1 \to$ nenhuma raiz real.

Outras considerações merecem atenção:

• $b = 0$ e $c < 0 \to$ a equação tem formato $x^2 = k$ e apresenta duas raízes reais simétricas;
• $c = 0 \to$ a equação tem formato $ax^2 + bx = 0$ e apresenta uma das raízes nula;
• $a \cdot c < 0 \to \Delta > 0$ e a equação apresentará duas raízes reais e distintas.

Soma e produto das raízes

Por meio dos coeficientes da equação, podemos calcular a soma e o produto de suas raízes. Sendo $x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ e $x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$, temos:

Exemplos:

1. $x^2 - 5x + 6 = 0$

   $$x_1 + x_2 = -\frac{(-5)}{1} = 5 \quad\text{e}\quad x_1 \cdot x_2 = \frac{6}{1} = 6$$

2. $x^2 + 6x + 8 = 0$

   $$x_1 + x_2 = -\frac{6}{1} = -6 \quad\text{e}\quad x_1 \cdot x_2 = \frac{8}{1} = 8$$

Com um pouco de “treino”, podemos resolver uma equação do 2º grau apenas observando os valores da soma e do produto de suas raízes.

Faça isso para os exemplos acima e perceba que, no primeiro item, as raízes são 2 e 3 (soma 5 e produto 6). Já no segundo, as raízes são $-2$ e $-4$ (soma $-6$ e produto 8).

Equação do 2º grau a partir das raízes

Podemos escrever uma equação do 2º grau conhecendo a soma e o produto de suas raízes.

Exemplos:

1. Se $x_1 = 1$ e $x_2 = 3$, temos que $x_1 + x_2 = 1 + 3 = 4$ e $x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot 3 = 3$; logo, uma equação que terá 1 e 3 como raízes é $x^2 - 4x + 3 = 0$.
2. Se $x_1 = 2$ e $x_2 = -5$, temos que $x_1 + x_2 = 2 + (-5) = -3$ e $x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot (-5) = -10$; logo, uma equação que terá 2 e $-5$ como raízes é $x^2 + 3x - 10 = 0$.

Equações redutíveis a uma equação do 2º grau

Algumas equações podem ser transformadas em equações do 2º grau pela substituição de suas variáveis.

Exemplos:

1. Na equação $x^6 - 9x^3 + 8 = 0$, fazendo $x^3 = t$ e $x^6 = t^2$, temos:

   $$t^2 - 9t + 8 = 0$$

2. Na equação $(x^2 - 2x + 3)(x^2 - 2x + 6) = 18$, fazendo $x^2 - 2x = t$, temos:

   $$(t + 3)(t + 6) = 18$$

Função do 2º grau

Uma função do 2º grau, também chamada de função quadrática, é uma função $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, tal que $f(x) = ax^2 + bx + c$, com $a$, $b$ e $c$ números reais e $a \neq 0$.

Exemplos:

$f(x) = -2x^2 + 6x - 3$, em que $a = -2$, $b = 6$ e $c = -3$.

$g(x) = x^2 - 2x$, em que $a = 1$, $b = -2$ e $c = 0$.

$h(x) = 4x^2 - \dfrac{1}{4}$, em que $a = 4$, $b = 0$ e $c = -\dfrac{1}{4}$.

Gráfico

O gráfico da função do 2º grau é uma curva chamada parábola. Atribuindo valores para $x$ e calculando os correspondentes valores de $y$, vamos construir os gráficos das funções a seguir.

1. $f(x) = -2x^2 + 6x - 5$

   $x$	$y$
   0	$-5$
   1	$-1$
   $\dfrac{3}{2}$	$-\dfrac{1}{2}$
   2	$-1$
   3	$-5$

   

2. $g(x) = x^2 - 2x$

   $x$	$y$
   $-1$	3
   0	0
   1	$-1$
   2	0
   3	3

   

Ao construir o gráfico de uma função do 2º grau, podemos observar que:

• se $a > 0$, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
• se $a < 0$, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.

Raízes (ou zeros)

Os valores de $x$ tais que $f(x) = 0$ são chamados de raízes, ou zeros, da função do 2º grau. Exemplos:

1. Para obter os zeros da função $f(x) = x^2 - 2x + 1$, fazemos:

   $$\begin{gather*} x^2 - 2x + 1 = 0 \\ \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 0 \\ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{0}}{2} = \frac{2}{2} = 1 \end{gather*}$$

   Logo, as raízes são 1 e 1.

2. Para obter as raízes da função $g(x) = -x^2 + 4$, fazemos:

   $$\begin{gather*} -x^2 + 4 = 0 \\ \Delta = 0^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 4 = 16 \\ x = \frac{0 \pm \sqrt{16}}{-2} = \frac{\pm 4}{-2} = \pm 2 \end{gather*}$$

   Logo, as raízes são $-2$ e 2.

3. Para obter os zeros da função $f(x) = x^2 - 2x + 3$, fazemos:

   $$\begin{gather*} x^2 - 2x + 3 = 0 \\ \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = -8 \end{gather*}$$

   Como vimos anteriormente, essa equação não tem raízes reais; logo, $f$ também não tem zeros reais.

Natureza das raízes

Na representação gráfica, as raízes (ou zeros) de uma função do 2º grau são os valores de $x$ em que a parábola intersecta o eixo das abscissas. Além disso, a natureza das raízes da função do 2º grau está relacionada com o valor obtido para o discriminante $\Delta$.

Observe, no quadro a seguir, como essas relações podem ser indicadas.

Vértice da parábola e imagem da função do 2º grau

O vértice $V(x_V, y_V)$ é o ponto de maior ou menor ordenada da parábola, dependendo da sua concavidade.

Se $a > 0$, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo $V$.

Podemos observar que, a partir do valor de $y_V$, é possível determinar a imagem da função. Nesse caso, $\operatorname{Im}(f) = \{y \in \mathbb{R} \mid y \geq y_V\}$ ou $\operatorname{Im}(f) = [y_V, +\infty)$.

Se $a < 0$, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo $V$.

Podemos observar que, a partir do valor de $y_V$, é possível determinar a imagem da função. Nesse caso, $\operatorname{Im}(f) = \{y \in \mathbb{R} \mid y \leq y_V\}$ ou $\operatorname{Im}(f) = (-\infty, y_V]$.

Coordenadas do vértice

Quando a função quadrática possui duas raízes distintas, ou seja, quando $\Delta > 0$ o $x_V$ é a média aritmética das raízes ($x_1$ e $x_2$), ou seja, $x_V = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$.

Pela relação anterior e sabendo que, em uma equação do 2º grau, a soma das raízes $x_1 + x_2$ é dada por $-\dfrac{b}{a}$, temos:

Para obtermos a ordenada do vértice ($y_V$), podemos substituir o valor de $x_V$ na função $f(x) = ax^2 + bx + c$.

Exemplo:

Quais são as coordenadas do vértice do gráfico de $f(x) = x^2 - 12x + 27$?

As coordenadas do vértice são:

O vértice da parábola é o ponto $V(6, -9)$.

O valor da ordenada do vértice também poderia ter sido obtido por $y_V = \dfrac{-\Delta}{4a}$:

Eixo de simetria

Ao traçar uma reta que passe pelo vértice da parábola e seja paralela ao eixo vertical, podemos notar que a parábola é simétrica em relação a esse eixo.

No gráfico acima, vemos que o eixo de simetria passa por $x = 4$. Assim:

Valor máximo e mínimo

Como vimos anteriormente, a parábola pode ter um ponto de máximo ou um ponto de mínimo de acordo com sua concavidade, e esse ponto é o vértice. Quando nos referimos ao valor máximo ou ao valor mínimo da função quadrática, estamos nos referindo ao valor de $y_V$.

Outras representações

A função do 2º grau $f(x) = ax^2 + bx + c$ pode ser escrita na sua forma fatorada. Para isso, precisamos conhecer suas raízes $x_1$ e $x_2$ e o coeficiente dominante ($a$).

Exemplo: para escrever a função $y = 2x^2 - 4x - 6$ em sua forma fatorada, devemos conhecer suas raízes $x_1 = -1$ e $x_2 = 3$ e o coeficiente dominante $a = 2$. Assim, a forma fatorada da função será $y = 2(x + 1)(x - 3)$.

Também podemos escrever a função do 2º grau utilizando as coordenadas do vértice $(x_V, y_V)$:

Estudo do sinal

Do mesmo modo que fizemos com a função do 1º grau, faremos para a função quadrática. Basicamente, devemos analisar para quais valores de $x$ temos $y$ positivo, negativo ou nulo.

Devemos notar que, quando o gráfico está:

• acima do eixo das abscissas, temos $y$ positivo;
• abaixo do eixo das abscissas, temos $y$ negativo;
• sobre o eixo das abscissas, temos $y = 0$.

Para fazer o estudo do sinal, basta encontrarmos as raízes e verificarmos a concavidade da parábola.

Nos exemplos a seguir, vamos analisar o sinal das funções:

1. $y = x^2 - 5x + 4$

   Calculando as raízes, obtemos $x_1 = 1$ e $x_2 = 4$. Como $a = 1$, a concavidade da parábola está voltada para cima e, assim, teremos um esboço do gráfico com as seguintes características:

   

   Com isso, verificamos que:

   $$\begin{cases} \text{se } x < 1 \text{ ou } x > 4\text{, então } y > 0 \\ \text{se } x = 1 \text{ ou } x = 4\text{, então } y = 0 \\ \text{se } 1 < x < 4\text{, então } y < 0 \end{cases}$$

2. $y = -x^2 + 4x - 4$

   Calculando as raízes, obtemos $x_1 = x_2 = 2$. Como $a = -1$, a concavidade da parábola está voltada para baixo, logo:

   

   Assim, temos que: $\begin{cases} \text{se } x < 2 \text{ ou } x > 2\text{, então } y < 0 \\ \text{se } x = 2\text{, então } y = 0 \end{cases}$

3. $y = x^2 + 4x + 5$

   Calculando as raízes, verificamos que $\Delta < 0$ e a função não tem raízes reais. Como $a = 1$, a concavidade da parábola está voltada para cima:

   

   Portanto, observamos que para qualquer valor de $x$ temos $y > 0$.

Resolução de inequações

Inequações do 1º grau

Vamos lembrar algumas propriedades de desigualdades.

• Adicionar ou subtrair números:

  $$\begin{gather*} 2 < 5 \Rightarrow 2 + 3 < 5 + 3 \Rightarrow 5 < 8 \\ 10 > 7 \Rightarrow 10 - 2 > 7 - 2 \Rightarrow 8 > 5 \end{gather*}$$

• Multiplicar ou dividir por números positivos:

  $$\begin{gather*} -3 < 5 \Rightarrow -3 \cdot 2 < 5 \cdot 2 \Rightarrow -6 < 10 \\ 12 > 9 \Rightarrow 12 : 3 > 9 : 3 \Rightarrow 4 > 3 \end{gather*}$$

• Multiplicar ou dividir por números negativos invertendo o sinal da desigualdade:

  

Resolver uma inequação em $x$ consiste em determinar todos os valores possíveis de $x$ que tornam aquela desigualdade verdadeira.

Inequações do 2º grau

Para resolver uma inequação do 2º grau, podemos recorrer ao estudo do sinal da função do 2º grau.