Razões e proporções

Nas artes visuais muitas vezes os artistas usam a ideia de razão e proporção para reproduzir uma imagem do mundo real em seu trabalho artístico. Por exemplo, uma artista pode pintar a representação de uma árvore de 4 metros em um quadro de 30 centímetros ou um escultor pode produzir uma estátua de 5 metros para representar uma pessoa de 1,60 metro.

O estudo das razões e proporções possibilita compreender o valor de uma grandeza de forma relativa, estabelecendo parâmetros de comparação próprios que permitem avaliações mais precisas a respeito da magnitude dos números.

Comparando números

O princípio da tricotomia é uma característica própria do conjunto dos números reais. Segundo esse princípio, dados os números reais $x_1$ e $x_2$, só há três situações a se considerar:

O símbolo $=$ indica uma relação de igualdade. Os símbolos $<$ e $>$ indicam relações de ordem e podem ser lidos em qualquer sentido.

Por esse motivo, dependendo do sentido da leitura, fica estabelecida uma ordem crescente ou decrescente, qualquer que seja o símbolo usado para representar a relação.

Com apenas três situações, a negação de qualquer uma dessas relações equivale à reunião das outras duas. Assim, para a negação de uma relação de ordem, deve-se considerar também a relação de igualdade.

• A negação de $x_1 < x_2$ abrange tanto $x_1 > x_2$ quanto $x_1 = x_2$ e é representado por $x_1 \geq x_2$.
• A negação de $x_1 > x_2$ abrange tanto $x_1 < x_2$ quanto $x_1 = x_2$ e é representado por $x_1 \leq x_2$.

Por fim, para a negação da igualdade, basta considerar ambas as relações de ordem.

• O contrário de $x_1 = x_2$ abrange tanto $x_1 < x_2$ quanto $x_1 < x_2$ e é representado por $x_1 \neq x_2$.

Nosso estudo avança de modo a se obter de valores reais $x_1$ e $x_2$ outros números capazes de informar e formar escalas comparativas entre as infinitas possibilidades em que $x_1 \neq x_2$.

Esses terceiros números, destinados a avaliar quanto $x_1$ não é igual a $x_2$, são o que chamamos de razões matemáticas. Assim, por princípio, a razão entre dois números reais deve informar algo sobre a não igualdade de dois números reais, possibilitando que se saiba algo a respeito deles, mesmo sem saber quais são seus valores.

Basicamente, há duas operações matemáticas capazes de obter razões a partir de diferentes números reais $x_1$ e $x_2$: a subtração e a divisão.

O resultado da subtração é a diferença dos números $x_1$ e $x_2$. O resto, resíduo ou diferença de dois números informa quão distante $x_1$ e $x_2$ estão localizados no eixo real.

Subtraindo os anos de nascimento e morte de uma pessoa, por exemplo, obtém-se seu tempo de vida, o que permite inferências a seu respeito.

Além da diferença, outra operação cujo resultado possibilita inferências sobre valores não necessariamente conhecidos é a divisão. O quociente, resultado da divisão entre os números $x_1$ e $x_2$, permite outra forma de comparação numérica dada em termos de multiplicidade.

O que ocorre aqui, de fato, é uma comparação da distância do número zero ao número $x_1$ com a distância do número zero ao número $x_2$. Comparando-se essas distâncias, é possível saber, por exemplo, se uma quantia vale o dobro da outra, ou o triplo, a metade, três quartos, 25% etc.

Esse tipo de comparação permite tantas possibilidades informativas a respeito de números diferentes que, no estudo da Matemática, o termo razão está mais frequentemente associado ao quociente de uma divisão, do que à diferença de uma subtração.

Exercício resolvido 2

Enem Num projeto da parte elétrica de um edifício residencial a ser construído, consta que as tomadas deverão ser colocadas a 0,20 m acima do piso, enquanto os interruptores de luz deverão ser colocados a 1,47 m acima do piso. Um cadeirante, potencial comprador de um apartamento desse edifício, ao ver tais medidas, alerta para o fato de que elas não contemplarão suas necessidades. Os referenciais de alturas (em metros) para atividades que não exigem o uso de força são mostrados na figura seguinte.

Uma proposta substitutiva, relativa às alturas de tomadas e interruptores, respectivamente, que atenderá àquele potencial comprador é

1. 0,20 m e 1,45 m.
2. 0,20 m e 1,40 m.
3. 0,25 m e 1,35 m.
4. 0,25 m e 1,30 m.
5. 0,45 m e 1,20 m.

Comparação por subtração

Dados os números reais $x_1$ e $x_2$, da relação de igualdade matemática, há apenas dois casos a se considerar:

• Eles têm o mesmo valor: $x_1 = x_2$.
• Eles não têm o mesmo valor: $x_1 \neq x_2$.

Algebricamente, a operação de subtração permite expressar cada caso de outra maneira:

• $x_1 = x_2 \Rightarrow x_1 - x_2 = 0$
• $x_1 \neq x_2 \Rightarrow x_1 - x_2 \neq 0$

Dizer que $x_1$ e $x_2$ são iguais de fato equivale a dizer que não há diferença entre $x_1$ e $x_2$, mas também é correto, nesse caso, dizer que a diferença entre $x_1$ e $x_2$ é zero.

Lembrando que, em termos matemáticos, diferença é o nome dado ao resultado de uma subtração, que não se trata de uma operação comutativa, quando os números $x_1$ e $x_2$ não são iguais podem ser consideradas duas diferenças distintas:

• $x_1 - x_2$
• $x_2 - x_1$

A letra grega $\Delta$ (delta maiúscula) é bastante usada para representar diferenças entre números reais, e, como as duas diferenças possíveis são opostas, quando uma delas é igual a $\Delta$, a outra é igual a $-\Delta$.

A diferença entre dois valores específicos de uma quantidade indicada por $x$ também costuma ser denominada variação de $x$. Além disso, tais variações são representadas algebricamente por $\Delta x$.

Variação orientada e absoluta

A variação de uma quantidade $x$ que assume os valores $x_1$ e $x_2$ pode ser calculada de duas maneiras distintas: $(x_1 - x_2)$ ou $(x_2 - x_1)$, dependendo da situação em que se aplica.

Imagine estar numa sala com o ar-condicionado regulado para 22 °C e depois ter de sair para a rua, em um dia ensolarado, a uma temperatura de 30 °C.

Nessa situação, tem-se $x_1 = 22$ °C e $x_2 = 30$ °C, e a variação térmica enfrentada é de $+8$ °C. Isso significa, portanto, sentir a temperatura aumentar em 8 °C:

Já para uma pessoa que veio da rua e entrou na sala, a variação térmica é $-8$ °C, pois a sensação é de que a temperatura diminui 8 °C:

A variação absoluta de uma quantidade é definida como o módulo das variações orientadas ou relativas:

Portanto, em ambas as situações, pode-se dizer que houve uma variação absoluta de 8 °C na temperatura dos ambientes citados.

Note que o conhecimento da variação de 8 °C nas temperaturas é suficiente para se ter uma noção do choque térmico enfrentado por quem muda de um ambiente para o outro, mesmo sem conhecer a temperatura exata de cada ambiente.

Variação temporal

Quando a variação decorre dos valores assumidos por $x_1$ e $x_2$ ao longo do tempo, de modo que $x_2$ ocorre após $x_1$, é comum designá-los valores final e inicial respectivamente.

Em acordo com a própria natureza do tempo, a variação deve ser considerada do seguinte modo:

Texto para responder às questões 4 e 5.

A população atual de um país já atingiu a marca dos 700 milhões e, segundo pesquisas, para o reequilíbrio dos índices de natalidade e mortalidade, a média mundial de filhos por mãe teria de baixar de 2,5 para 2,1. Se isso acontecer, a estabilização demográfica será alcançada em aproximadamente um século, quando a população do país terá chegado a 1 bilhão de pessoas.

Para responder às questões 6 e 7, considere a tabela a seguir, que apresenta dados sobre a evolução de preços do barril de petróleo em certa localidade.

Comparação por quociente

Voltemos ao fato de que dados os números reais $x_1$ e $x_2$ diferentes de zero:

• ou eles têm o mesmo valor: $x_1 = x_2$
• ou eles não têm o mesmo valor: $x_1 \neq x_2$

Agora, a operação de divisão possibilita expressar algebricamente cada caso de outra maneira:

• $x_1 = x_2 \Leftrightarrow \dfrac{x_1}{x_2} = 1$
• $x_1 \neq x_2 \Leftrightarrow \dfrac{x_1}{x_2} \neq 1$

Assim, desde que seus valores não sejam nulos, dizer que $x_1$ e $x_2$ são iguais equivale a dizer que sua razão por quociente é unitária.

Lembrando que a divisão não é uma operação comutativa, quando os números $x_1$ e $x_2$ não são iguais a zero nem iguais um ao outro, há dois quocientes diferentes possíveis: $\dfrac{x_1}{x_2}$ e $\dfrac{x_2}{x_1}$.

É comum utilizar letras como $q$ e $k$ para representar razões por meio de quocientes de números reais e, como as duas razões possíveis são recíprocas, quando uma delas é indicada por $k$, a outra fica indicada por $k^{-1}$. Exemplos no quadro abaixo.

Razões simples

Os quocientes de duas grandezas de mesma espécie são denominados razões simples, sejam essas grandezas geométricas, físicas, químicas etc.

Razões simples podem ser obtidas efetuando-se a divisão, sem resto, entre valores de dois comprimentos, duas áreas, dois volumes, duas massas, duas forças, dois preços, duas densidades, duas populações e muito mais.

As razões simples são valores adimensionais, ou seja, que não possuem unidade. Elas indicam apenas as relações de multiplicidade existente entre as grandezas divididas. Quando o maior valor é dividido pelo menor, a relação de multiplicidade ($k > 1$) obtida entre grandezas geométricas pode ser interpretada como a quantidade de vezes que o menor valor cabe no maior. Observe os exemplos.

• A razão $\dfrac{48\text{ m}}{12\text{ m}} = 4$ indica, por exemplo, que cabem quatro veículos com 12 m de comprimento em uma garagem com 48 m de comprimento.
• A razão $\dfrac{20\text{ m}^2}{0{,}5\text{ m}^2} = 40$ indica, por exemplo, que, para cobrir uma superfície de 20 m$^2$ de área, são suficientes quarenta pisos de cerâmica com 0,5 m$^2$ cada um.
• A razão $\dfrac{700\text{ mL}}{200\text{ mL}} = 3{,}5$ indica, por exemplo, que o conteúdo em uma garrafa com 700 mL enche três e meio copos de 200 mL.

O conceito de taxa

Quando se calcula uma razão simples, dividindo o menor valor pelo maior, a relação de multiplicidade ($k < 1$) obtida entre grandezas geométricas pode ser interpretada como uma taxa unitária. Taxas unitárias indicam qual parte do maior valor é representada pelo menor valor, como se o maior dos valores fosse adotado para ser a unidade de comparação. Observe os exemplos:

• A razão $\dfrac{1{,}40\text{ m}}{4{,}20\text{ m}} = \dfrac{1}{3}$ indica, por exemplo, que um poste com 1,4 m tem apenas um terço da altura de um poste com 4,2 m.
• A razão $\dfrac{80\text{ cm}^2}{200\text{ cm}^2} = 0{,}4$ indica, por exemplo, que uma folha de papel com 80 cm$^2$ cobre apenas quatro décimos de um mural de 200 cm$^2$.
• A razão $\dfrac{90\text{ mL}}{750\text{ mL}} = 0{,}12$ indica, por exemplo, que 90 mL de água ocupam apenas 12 centésimos de uma garrafa com 750 mL de capacidade.

Razões da parte para o todo são taxas que podem ser expressas por números racionais na forma fracionária ou decimal, havendo ainda uma terceira representação, que é a forma percentual. As formas decimais e percentuais muitas vezes admitem aproximações:

• $\dfrac{1}{3} = 0{,}333\ldots \cong 33\%$
• $\dfrac{2}{5} = 0{,}4 = 40\%$
• $\dfrac{3}{25} = 0{,}12 = 12\%$

No estudo da demografia são muito comuns os dados na forma de quociente. Quando se trata do quociente entre populações, as taxas demográficas obtidas são razões simples.

Fazendo algumas aproximações, pode-se considerar que, em meados de 2010, a população da China tenha alcançado 1,4 bilhão de habitantes e, nesse mesmo período, a população mundial tenha atingido a incrível marca de 7 bilhões de habitantes. A razão entre as populações da China e do mundo é $q = \dfrac{1\,400\,000\,000}{7\,000\,000\,000}$, que, em sua forma irredutível, equivale a $q = \dfrac{1}{5}$. Desse valor, conclui-se que, em meados de 2010, a China era povoada por um de cada cinco habitantes do planeta ou que, a cada cinco habitantes do planeta, um vivia na China.

Embora o decimal 0,2 represente o mesmo número que a fração $\dfrac{1}{5}$, não é comum afirmar, por exemplo, que a China era povoada por 0,2 de cada habitante do planeta. Aqui se percebe a utilidade da representação percentual, que pode ser obtida multiplicando-se por 100 a taxa e acrescentando-se o símbolo % ao resultado:

É mais compreensível transmitir a razão dessas populações usando a taxa percentual, pois a afirmação de que a China era povoada por 20% dos seres humanos é menos abstrata que a anterior, pois se pode imaginar, em termos de números inteiros, que 20 de cada 100 habitantes do planeta viviam na China, em meados de 2010.

Razões compostas

Quando se comparam quantidades de espécies diferentes, como distância e período de tempo ou massa e volume, por exemplo, a comparação deve sempre ser feita na forma de quociente, e seu resultado é uma razão composta.

Nesses casos, embora a razão obtida não indique relação de multiplicidade, muitas delas podem ser interpretadas como taxas médias de variação por unidade de tempo ou como concentrações médias por unidade de espaço. Por isso, as razões compostas sempre devem vir acompanhadas de suas unidades específicas, como m/s (metros por segundo) ou g/mL (gramas por mililitro).

Taxas periódicas

As razões compostas de quocientes, entre uma grandeza qualquer não temporal por uma quantidade de tempo, são bastante informativas e têm amplo uso no estudo de diversas ciências. Essas taxas periódicas são conhecidas, entre outros conceitos, como velocidades e vazões.

Sejam $y_1$ e $y_2$ dois valores reais de determinada grandeza e $x_1$ e $x_2$ dois instantes quaisquer no tempo, tais que $y_1$ e $y_2$ são os respectivos valores da grandeza $y$ nos instantes $x_1 < x_2$.

• A variação da grandeza $y$ no período considerado é:

  $$\Delta y = y_2 - y_1$$

• A duração do período considerado é:

  $$\Delta x = x_2 - x_1$$

• A taxa de variação média da grandeza $y$ no período considerado é:

  $$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Concentrações como razões compostas

No estudo da Química, o termo concentração indica a composição de uma mistura. Seus valores são razões que podem ser obtidas por quocientes de grandezas diferentes, como massa ou quantidade de matéria, divididas por alguma grandeza de espaço, como volume ou capacidade.

No estudo da Física há uma grandeza chamada densidade que também expressa concentração de massa, não de uma mistura, mas sim de um único corpo. A densidade é uma razão composta obtida pelo quociente entre a massa de determinado corpo pelo seu próprio volume.

Múltiplos e submúltiplos das principais unidades de medida são amplamente usados para apresentar as unidades desse tipo de razão composta.

Concentrações em massa podem ser expressas em miligramas por litro (mg/L) ou gramas por centímetro cúbico (g/cm$^3$), por exemplo. Concentrações por quantidade de matéria são geralmente expressas em mols por litro. No Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade de densidade é o quilograma por metro cúbico (kg/m$^3$), mas é bastante comum encontrarmos densidades expressas em gramas por centímetro cúbico (g/cm$^3$) ou gramas por mililitro (g/mL).

No estudo da Economia, o conceito de concentração de renda local é uma razão composta obtida pelo quociente de uma grandeza monetária por uma grandeza de área.

No estudo da Geografia, o conceito de concentração faz referência às populações de determinados locais. Densidade demográfica é o nome dado à razão composta obtida pelo quociente entre uma população e a área que ela ocupa.

Proporção

Toda relação de igualdade entre duas frações estabelece uma proporção. Assim, as proporções são as sentenças matemáticas do tipo:

Uma leitura possível é “$a$ está para $b$ assim como $c$ está para $d$”.

Em termos algébricos, há equivalência entre uma razão $\left(\dfrac{a}{b}\right)$ do primeiro membro da igualdade e a razão $\left(\dfrac{c}{d}\right)$ do segundo membro. Essa proporção obedece à seguinte nomenclatura:

1. $a$ é o termo antecedente da 1^a razão;
2. $b$ é o termo consequente da 1^a razão;
3. $c$ é o termo antecedente da 2^a razão;
4. $d$ é o termo consequente da 2^a razão.

Além disso:

1. $a$ e $d$ são os termos extremos da proporção;
2. $b$ e $c$ são os termos médios da proporção.

Características básicas

Toda proporção se presta a informar equivalências comparativas entre os valores de duas grandezas, calculando-se suas razões por meio do quociente. Proporções são expressas por sentenças do tipo $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$, em que os números $b$ e $d$ devem ser diferentes de zero.

Em $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$, com $b \cdot d \neq 0$, têm-se:

• $a = 0 \Leftrightarrow c = 0$
• $|a| = |b| \Leftrightarrow |c| = |d|$
• $|a| < |b| \Leftrightarrow |c| < |d|$
• $|a| > |b| \Leftrightarrow |c| > |d|$

Se a proporção $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ é formada por razões simples de números positivos, cujo quociente é maior do que uma unidade ($q > 1$), então ela pode ser interpretada da seguinte maneira:

“$b$ cabe em $a$ tantas vezes quantas $d$ cabe em $c$”.

Simplificações

A equação gerada por uma proporção pode ser simplificada dividindo-se ambos os termos antecedentes por um mesmo número real não nulo, produzindo-se assim uma nova relação de proporcionalidade.

A equação $\dfrac{12}{x} = \dfrac{20}{y}$, por exemplo, pode ser simplificada dividindo-se por 4 cada um dos termos antecedentes:

A mesma equação também pode ser simplificada dividindo-se ambos os termos consequentes por um mesmo número real não nulo.

A equação $\dfrac{x}{45} = \dfrac{y}{35}$, por exemplo, pode ser simplificada dividindo-se por 5 cada um dos termos consequentes:

Há casos em que a simplificação pode ser obtida por uma multiplicação dos termos antecedentes ou dos termos consequentes por um mesmo número real não nulo.

A equação $\dfrac{2{,}5}{x} = \dfrac{0{,}75}{y}$, por exemplo, pode ser simplificada multiplicando-se por 4 cada um dos termos antecedentes:

Produto cruzado

Em uma proporção, o produto dos termos extremos equivale ao produto dos termos médios:

Representações

As oito maneiras diferentes de se representar a proporção entre números $a$, $b$, $c$ e $d$ geram quatro diferentes razões.

Exercício resolvido 15

Enem 2015 Um pesquisador, ao explorar uma floresta, fotografou uma caneta de 16,8 cm de comprimento ao lado de uma pegada. O comprimento da caneta ($c$), a largura (L) e o comprimento (C) da pegada, na fotografia, estão indicados no esquema.

A largura e o comprimento reais da pegada, em centímetros, são, respectivamente, iguais a

1. 4,9 e 7,6.
2. 8,6 e 9,8.
3. 14,2 e 15,4.
4. 26,4 e 40,8.
5. 27,5 e 42,5.

Propriedades

Novas razões

Da proporção $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$, com $b \cdot d \neq 0$, uma terceira razão equivalente à $\dfrac{a}{b}$ e $\dfrac{c}{d}$ pode ser obtida adicionando-se os dois termos antecedentes e os dois termos consequentes das razões originais, desde que as somas não sejam nulas. Assim, se $a + b \neq 0$ e $b + d \neq 0$, tem-se:

Esse procedimento pode ser executado inúmeras vezes, gerando sempre novas razões equivalentes às razões anteriores:

Também é possível aplicar essa propriedade a proporções formadas por três ou mais razões:

Novas proporções

De uma proporção $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$, com $b \cdot d \neq 0$, novas proporções podem ser obtidas adicionando-se os consequentes aos antecedentes de cada razão. As razões relacionadas nessa nova proporção não devem ter o mesmo valor das razões originais.

Para demonstrar essa proposição, basta adicionar 1 aos dois membros da equação e efetuar a soma das frações:

Outra forma de obter novas proporções é adicionando os antecedentes aos consequentes de cada razão.

Essa propriedade também pode ser aplicada inúmeras vezes, produzindo uma infinidade de proporções. Assim, quaisquer que sejam os números não nulos $m$, $n$, $p$ e $q$, satisfazendo-se $p \cdot a + q \cdot b \neq 0$ e $p \cdot c + q \cdot d \neq 0$, tem-se:

Porcentagens

As primeiras formas percentuais de representação de razões e proporções surgiram na Antiguidade romana, quando o ostensivo modo de vida dos imperadores era sustentado pelos impostos cobrados de cada cidadão.

Naquela época e local, as transações comerciais eram taxadas pelo Estado em termos de razões centesimais de forma padronizada. Por exemplo, as riquezas herdadas por uma pessoa, no caso de morte de um parente, eram taxadas em “XIII per centus”, forma antiga para o que hoje representamos como 13%.

O que não deve ter mudado daquela época para a atual são as formas como as porcentagens são calculadas. Uma dessas formas consiste em dividir o valor do bem transferido em uma centena de partes iguais e tomar exatamente 13 dessas partes.

Para calcular, por exemplo, a porcentagem de 13% sobre uma riqueza herdada de 46 mil aureus (moeda romana usada entre os séculos II a.C. e III d.C.), divide-se 46 000 por 100 e multiplica-se o quociente obtido por 13, obtendo-se:

Assim, tem-se que a quantia de 5 980 aureus representa 13% de 46 mil aureus.

Outra forma de fazer isso é dividir 13 por 100, obtendo o que se denomina taxa unitária, e multiplicar essa taxa pelo valor principal de 46 mil aureus:

Apresentação de taxas

O valor de uma grandeza, razão simples ou razão composta, pode ser representado de forma exata ou de forma aproximada. Em muitos casos, para representar alguns valores de forma exata, é necessário que sejam usadas frações ou mesmo números irracionais. No entanto, para as aproximações, usa-se apenas a forma decimal dos números racionais, frequentemente com somente duas casas, como é o caso da notação financeira.

Os países de língua latina herdaram a prática centesimal dos antigos romanos, enquanto alguns países de língua inglesa aos poucos foram mudando sua forma de representação e adaptando-se a esse padrão decimal de representação, mas ainda hoje os estadunidenses referem-se à sua moeda de 25 centavos como um quarto de dólar $\left(\dfrac{1}{4} = 0{,}25\right)$. O valor dessa moeda é apenas uma pequena parte do dólar. Assim, esse valor representa uma taxa dessa unidade monetária.

• Na forma fracionária, a taxa de $\dfrac{1}{4}$ indica que a moeda possui apenas uma das quatro partes iguais que somam um dólar.
• Na forma decimal, o numeral 0,25 é denominado taxa unitária e indica que a moeda possui 25 centésimos da unidade monetária.

O numeral 0,25 também indica que essa moeda tem 25% do valor de um único dólar. Nesse caso, a representação 25% é denominada taxa percentual.

O símbolo % indica a divisão de uma quantia em exatamente 100 partes iguais.

Escreve-se o símbolo % à direita de um valor numérico como forma alternativa para a representação de uma fração centesimal, ou seja, $25\% = \dfrac{25}{100}$.

As formas mais usadas para a representação das partes de um todo são as taxas unitárias e as taxas percentuais. As taxas unitárias são números racionais compreendidos no intervalo entre os números 0 e 1. Note que $0 < 0{,}25 < 1$. As taxas percentuais são números racionais compreendidos entre 0 e 100, seguidos do símbolo de porcentagem (%). Note que $0\% < 25\% < 100\%$.

Encontra-se a taxa unitária dividindo-se o valor absoluto da parte de uma quantia pelo seu valor total. Considere, por exemplo, que em uma sala de aula há 92 alunos dos quais apenas 23 são rapazes. A taxa unitária de rapazes nessa sala é expressa por $\dfrac{23}{92} = 0{,}25$.

Uma taxa unitária pode ser transformada em taxa percentual se for multiplicada por 100. Ao fazer isso, deve-se acrescentar o símbolo da porcentagem à notação:

Uma taxa percentual pode ser transformada em taxa unitária se for dividida por 100. Ao fazer isso, deve-se eliminar o símbolo da porcentagem:

Calcula-se uma porcentagem de determinado valor multiplicando-se o valor total dessa grandeza pela taxa percentual e, depois, dividindo-se o produto obtido por 100. Por exemplo, para calcular quantos alunos correspondem a 25% de 92 alunos, fazemos:

Calcula-se uma porcentagem de outra porcentagem multiplicando-se a taxa unitária correspondente a uma das porcentagens pela taxa percentual correspondente a outra. Por exemplo:

Taxas unitária e percentual

Chamam-se taxas unitárias as razões simples que são obtidas por quocientes entre as partes de determinada quantia e o valor total dessa quantia.

Chamam-se taxas percentuais os numerais que precedem o símbolo % nas representações padronizadas das razões simples como frações centesimais. Assim:

Aumentos e reduções

A variação de uma grandeza, em determinado período, é dada pela diferença entre o valor da grandeza ao final do período e seu valor no início do período.

Considere o período em que determinada grandeza teve:

• Valor inicial: $\text{V}_\text{I}$
• Valor final: $\text{V}_\text{F}$

Assim, o valor nominal da variação dessa grandeza é:

A variação de uma grandeza, quando positiva, é chamada de aumento nominal e, quando negativa, é chamada de redução nominal.

• $\Delta\text{V} > 0$ indica que houve aumento no valor da grandeza observada.
• $\Delta\text{V} < 0$ indica que houve redução no valor da grandeza observada.

Quando, no período considerado, tem-se $\Delta\text{V} = 0$, não se deve concluir que o valor da grandeza se manteve constante. É bem provável que os aumentos e as reduções ocorridos durante o período anularam-se uns aos outros, fazendo o valor final da grandeza coincidir com seu valor inicial ($\text{V}_\text{F} = \text{V}_\text{I}$).

As variações nos valores de grandezas também podem ser informadas por taxas percentuais ou unitárias, sejam elas referentes a aumentos ou reduções. Nesses casos, costuma-se tomar como referência o valor inicial da grandeza que sofreu a variação.

Se $\Delta\text{V} > 0$, a taxa unitária de aumento é dada pela razão simples $\dfrac{\Delta\text{V}}{\text{V}_\text{I}}$.

Se $\Delta\text{V} < 0$, a taxa unitária de redução é dada pela razão simples $\dfrac{-\Delta\text{V}}{\text{V}_\text{I}}$.

Se $\Delta\text{V} = 0$, a taxa de variação também é nula.

Leia a notícia a seguir para responder às questões 26 e 27.

Piauí apresenta crescimento de 4,32% na geração de novos empregos

O Caged (Cadastro Geral de Empregados e Desempregados) divulgou recentemente dados referentes ao saldo de emprego e desemprego no estado do Piauí, acumulados nos 12 meses do ano passado. O resultado foi positivo em relação ao mesmo período de 2013, vez que o montante de postos de trabalho foi de 11 692, correspondendo a um aumento de 4,32%.

Segundo os dados do CAGED, em janeiro de 2014 foram eliminados 135 empregos celetistas, equivalentes a uma redução de 0,05% em relação ao estoque de assalariados com carteira assinada do mês anterior.

Fator de correção

O montante ou valor final que resulta de um único aumento de taxa $p\%$ é expresso por:

Fatorando essa expressão, tem-se $\text{V}_\text{F} = (1 + p\%) \cdot \text{V}_\text{I}$.

O montante ou valor final que resulta de uma única redução de taxa $p\%$ é expresso por:

Fatorando essa expressão, tem-se $\text{V}_\text{F} = (1 - p\%) \cdot \text{V}_\text{I}$.

As expressões do tipo $\left(1 \pm \dfrac{p}{100}\right)$ presentes nas fórmulas $\text{V}_\text{F} = \left(1 \pm \dfrac{p}{100}\right) \cdot \text{V}_\text{I}$, do montante acumulado, são chamadas de fatores de correção. Assim:

• Para aumentos de $p\%$, tem-se um fator de aumento $\text{F}_\text{A} = 1 + \dfrac{p}{100}$.
• Para reduções de $p\%$, tem-se um fator de redução $\text{F}_\text{R} = 1 - \dfrac{p}{100}$.

Assim, com o auxílio desses fatores de correção, o montante final pode ser calculado efetuando-se uma única multiplicação:

Esses fatores de correção podem ser facilmente encontrados se considerarmos que, inicialmente, qualquer valor é igual a 100% de si mesmo. Depois, basta adicionar ou subtrair as taxas percentuais $p$ e efetuar a divisão por 100. Veja nos quadros a seguir como encontrar os fatores de correção para uma taxa de 30%, por exemplo.

Em situações em que o valor inicial $\text{V}_\text{I}$ de uma grandeza sofre dois ou mais aumentos e/ou reduções sucessivas, o produto dos fatores de correção associados pode ser usado para se determinar uma única taxa de variação que seja equivalente à aplicação de todas as outras.

Indicando por $(\text{F}_1, \text{F}_2, \text{F}_3, \ldots)$ a sequência dos fatores de correção correspondentes aos aumentos ou às reduções ocorridas, o montante final, após a incidência de todos eles, será dado por:

Indicando por F o fator de correção equivalente a todas essas alterações:

Das equações anteriores, tem-se $\text{F} = \text{F}_1 \cdot \text{F}_2 \cdot \text{F}_3 \cdot \ldots$.

Sendo $p$ a taxa percentual de variação equivalente a todas as possíveis alterações no valor da grandeza estudada, tem-se:

Analisando essa expressão, da propriedade comutativa da multiplicação, pode-se concluir que tanto a taxa equivalente quanto o valor final de uma grandeza, após a ocorrência de diversos aumentos e/ou reduções, não dependem da ordem de ocorrência dos aumentos e/ou das reduções individuais.

Propriedades dos fatores de correção

Sendo F o fator de correção da alteração no valor de uma grandeza:

• $\textbf{F} \boldsymbol{>} \textbf{1}$ indica que ocorreu um aumento no valor da grandeza;
• $\textbf{F} \boldsymbol{<} \textbf{1}$ indica que ocorreu uma redução no valor da grandeza;
• $\textbf{F} \boldsymbol{=} \textbf{1}$ indica que a grandeza continua com seu valor inicial;
• Não existe fator de correção negativo.

Sendo $\text{F}_\text{A}$ e $\text{F}_\text{R}$ os respectivos fatores de correção de um aumento e de um desconto de mesma taxa percentual $p\%$, temos $\text{F}_\text{A} + \text{F}_\text{R} = 2$.

Um aumento e um desconto sucessivos de mesma taxa percentual $p\%$ não se anulam, gerando sempre uma redução de $\left(\dfrac{p^2}{100}\right)\%$.

Para que um aumento percentual anule uma redução percentual, os fatores de correção associados devem ser recíprocos (inversos multiplicativos) um do outro, ou seja, $\text{F}_\text{R} = \dfrac{1}{\text{F}_\text{A}}$. Nesse caso:

Então, sendo $p_\text{A}$ e $p_\text{R}$ as respectivas taxas de aumento e redução percentual capazes de se anular quando aplicadas sucessivamente: