Teorema dos senos e teorema dos cossenos – Matemática (Matemática I, cap. 4)

Para uma aeronave levantar voo são necessários diversos cálculos, entre eles o seu posicionamento enquanto está em navegação. Essa localização é calculada com o uso da tecnologia do Sistema de Posicionamento Global, mais conhecido como GPS, utilizando satélites e trigonometria. Isso se dá por meio da triangulação formada pelos sinais do satélite e da posição do receptor GPS dentro do avião.

A trigonometria no triângulo retângulo corresponde ao estudo das relações entre seus lados e ângulos.

Depois de estabelecido o padrão de cálculo regido pelas tabelas de senos e cossenos, sua aplicação foi estendida a todos os triângulos, mesmo os não retângulos, estudo que veremos neste capítulo.

Classificação dos triângulos

É possível classificarmos os triângulos de duas formas diferentes.

Com relação aos lados:
- escalenos: quando cada lado tem comprimento diferente;
- isósceles: quando dois lados apresentam o mesmo comprimento;
- equiláteros: quando todos os lados possuem o mesmo comprimento.
Com relação aos ângulos:
- acutângulos: quando todos os seus ângulos internos são agudos;
- retângulos: quando um de seus ângulos internos é reto;
- obtusângulos: quando um de seus ângulos é obtuso.

Uma importante relação entre os lados e os ângulos internos de um mesmo triângulo é que lados de comprimentos iguais sempre ficam opostos a ângulos de medidas iguais. Esse teorema da Geometria euclidiana garante, entre outras coisas, que os triângulos isósceles têm dois ângulos com a mesma medida e que todos os ângulos internos de um triângulo equilátero medem $60^\circ$ .

Contudo, quando se trata de um triângulo escaleno, assim como acontece com a medida dos lados, a medida dos ângulos internos são todas diferentes. Nesse caso, é sempre possível considerar em ordem crescente tanto a medida dos ângulos internos quanto o comprimento dos lados.

Desse modo, podemos enunciar que, em todo triângulo escaleno, o maior lado fica oposto ao maior ângulo interno ou que o menor lado fica oposto ao menor ângulo interno.

Triângulo ABC com ângulos internos α (em A), β (em B) e γ (em C) e lados c = AB, b = AC e a = BC; ao lado, a relação γ < β < α ⇒ c < b < a.

Neste capítulo, estudaremos como aplicar as razões trigonométricas nos triângulos escalenos.

Desigualdade triangular

Com relação às medidas dos ângulos internos, a única condição para a existência de um triângulo é que, somadas, elas resultem na medida de um ângulo raso.

Triângulo ABC com ângulos internos α (em A), β (em B) e γ (em C); ao lado, a igualdade α + β + γ = 180°.

Mas há algumas condições para a existência de um triângulo que dizem respeito ao comprimento dos lados. A primeira condição é que nenhum deles seja maior ou igual à soma dos outros dois; e a segunda é que nenhum deles seja menor ou igual à diferença absoluta dos outros dois.

Assim, para que um triângulo exista, todos os seus lados devem ter comprimentos que fiquem entre os valores da diferença e da soma dos outros dois. Então, sendo $c \leq b \leq a$ os comprimentos dos lados de um triângulo, temos:

Triângulo ABC com lados c = AB, b = AC e a = BC.

\begin{cases} a - b < c < a + b \\ a - c < b < a + c \\ b - c < a < b + c \end{cases}

A demonstração dessas desigualdades pode ser obtida por contradição ou por absurdo, como é mais conhecido esse tipo de argumento. Essas desigualdades têm que ser verdadeiras, pois sua falsidade contraria o conceito euclidiano da distância mínima entre dois pontos sobre uma superfície plana. Essa distância é igual ao comprimento do segmento de reta que os une (primeiro postulado).

Afinal, se, em um triângulo ABC com $AB = c$ , $AC = b$ e $BC = a$ , fosse verdadeiro que $a + b = c$ ou $a + b < c$ , então a menor distância entre os pontos B e C não seria mais o comprimento do segmento $\overline{BC}$ , por exemplo.

Na prática, para garantir a existência de um triângulo com lados de comprimentos $a$ , $b$ e $c$ , basta verificarmos as desigualdades de uma das linhas do sistema.

Mesmo que não saibamos a ordem crescente das medidas $a$ , $b$ e $c$ dos lados de um triângulo, é possível expressarmos a desigualdade triangular usando a função modular, que, nesse caso, serve para representar a diferença absoluta entre dois comprimentos. Dessa forma, pode-se garantir a existência de um triângulo verificando apenas uma das desigualdades do sistema, por exemplo:

Exercício resolvido 1

Verifique se existe um triângulo ABC com lados medindo 9 cm, 11 cm e 6 cm.

Resolução

Com $a = 9$ , $b = 11$ e $c = 6$ , obtemos a primeira desigualdade do sistema:

\begin{align*} |a - b| &< c < a + b \\ |9 - 11| &< 6 < 9 + 11 \\ 2 &< 6 < 20 \end{align*}

Como as duas desigualdades $2 < 6$ e $6 < 20$ são verdadeiras, podemos concluir que um triângulo com lados que tenham essas medidas de fato existe.

Observe que, com esses valores, as demais desigualdades do sistema também ficam verdadeiras:

\begin{array}{ccc} |a - c| < b < a + c & \qquad & |b - c| < a < b + c \\ |9 - 6| < 11 < 9 + 6 & & |11 - 6| < 9 < 11 + 6 \\ 3 < 11 < 15 & & 5 < 9 < 17 \end{array}

Exercício resolvido 2

Verifique se existe um triângulo ABC com lados que medem 5 cm, 3 cm e 9 cm.

Resolução

Com $a = 5$ , $b = 3$ e $c = 9$ , a primeira desigualdade do sistema fica:

\begin{align*} |a - b| &< c < a + b \\ |5 - 3| &< 9 < 5 + 3 \\ 2 &< 9 < 8 \end{align*}

Como $9 < 8$ é uma sentença falsa, podemos concluir que não existe triângulo cujos lados tenham esses comprimentos.

Observe que, com esses valores, as demais desigualdades do sistema também geram sentenças incorretas, pois o número 4 não é menor do que o número 3, bem como o número 6 não é menor do que o número 5:

\begin{array}{ccc} |a - c| < b < a + c & \qquad & |b - c| < a < b + c \\ |5 - 9| < 3 < 5 + 9 & & |3 - 9| < 5 < 3 + 9 \\ 4 < 3 < 14 & & 6 < 5 < 12 \end{array}

Exercício resolvido 3

Em um triângulo ABC com $AC = 30$ , $BC = 12$ e $AB = x$ , determine:

o intervalo de variação da medida $x$ do lado $\overline{AB}$ ;
o maior e o menor dos valores inteiros que $x$ pode assumir.

Valores de senos e cossenos de ângulos obtusos

Como nenhum ângulo interno de um triângulo retângulo pode medir mais do que $90^\circ$ , as razões trigonométricas seno e cosseno dos ângulos obtusos não podem ser compreendidas como quocientes entre os comprimentos de catetos e hipotenusas.

Para facilitar a compreensão dos conceitos de seno e cosseno de ângulos obtusos, vamos explorar o problema de encontrar a altura de um triângulo escaleno ABC.

Consideremos que os lados de um triângulo sejam $AB = 13$ e $AC = 20$ e sua base $BC = 11$ e que a figura a seguir o represente:

Triângulo ABC desenhado como acutângulo, com AB = 13, AC = 20 e base BC = 11.

Agora, nossa estratégia será traçar, pelo ponto A, uma reta perpendicular à base $\overline{BC}$ para obter a altura $\overline{AH}$ do triângulo e os triângulos retângulos AHB e AHC. Também indicaremos com $h$ o comprimento dessa altura e com $x$ o comprimento do segmento $\overline{BH}$ .

Triângulo ABC com AB = 13, AC = 20 e BC = 11 e a altura AH = h traçada no interior, com ângulo reto em H; BH = x e HC = 11 − x, com a chave indicando BC = 11.

Aplicando o teorema de Pitágoras nos triângulos retângulos da figura, obtemos:

$\triangle AHB \Rightarrow x^2 + h^2 = 13^2$ (equação I)
$\triangle AHC \Rightarrow (11 - x)^2 + h^2 = 20^2$ (equação II)

Desenvolvendo o produto notável na equação II, encontramos:

11^2 - 2 \cdot 11 \cdot x + x^2 + h^2 = 20^2

Observando que os últimos termos dessa equação formam o primeiro membro da equação I, temos:

\begin{align*} 11^2 - 22x + \underbrace{x^2 + h^2}_{13^2} &= 20^2 \\ 11^2 - 22x + 13^2 &= 20^2 \\ 121 - 22x + 169 &= 400 \\ -22x &= 400 - 121 - 169 \\ -22x &= 110 \\ x &= -5 \end{align*}

Assim, concluímos que $x = -5$ , mas isso não pode estar correto, pois não existem comprimentos negativos na Geometria euclidiana.

Nesse ponto, podemos querer revisar cada linha da álgebra usada na resolução ou fazer a correção das aplicações do teorema de Pitágoras, mas o fato é que a figura utilizada para representar o triângulo ABC está incorreta. Note também que $HC = 11 - x$ , com $x = -5$ , implica $HC = 16$ , que é uma informação contraditória quando observamos a figura inicialmente desenhada.

O erro foi presumir que ABC era um triângulo acutângulo e, assim, representar a altura $\overline{AH}$ na região interior do triângulo.

Uma figura adequada para a representação do triângulo de lados $AB = 13$ , $AC = 20$ e $BC = 11$ seria:

Triângulo ABC com AB = 13, AC = 20 e BC = 11 e altura AH = h exterior ao triângulo, sobre o prolongamento tracejado de CB; HB = x, BC = 11 e a chave indica HC = x + 11; ângulo reto em H.

Aplicando novamente o teorema de Pitágoras nos triângulos retângulos da figura, obtemos:

$\triangle AHB \Rightarrow x^2 + h^2 = 13^2$ (equação I)
$\triangle AHC \Rightarrow (11 + x)^2 + h^2 = 20^2$ (equação II)

Veja como a mudança no sinal da expressão entre parênteses na equação II altera o restante da resolução algébrica do sistema:

\begin{align*} 11^2 + 2 \cdot 11 \cdot x + \underbrace{x^2 + h^2}_{13^2} &= 20^2 \\ 121 + 22x + 169 &= 400 \\ 22x &= 400 - 121 - 169 \\ 22x &= 110 \\ x &= 5 \end{align*}

Então, depois de corrigida a incoerência inicial da figura, é seguro usar o valor de $x = 5$ na equação I para encontrar a altura do triângulo:

5^2 + h^2 = 13^2 \Rightarrow 25 + h^2 = 169 \Rightarrow h^2 = 144 \Rightarrow h = 12

Não só o problema foi resolvido como uma nova porta se abriu na interpretação dos números que representam entes geométricos.

Na época de Euclides, os números negativos ainda não haviam sido devidamente incorporados à Matemática. Mas, quando isso aconteceu, muito tempo depois, a Geometria começou a se apropriar dos aspectos analíticos que eram oferecidos pelos números menores do que zero.

Um desses aspectos é o de se interpretar $x = -5$ como a indicação de que o segmento $\overline{BH}$ desenhado no interior de um triângulo esteja, na verdade, exterior ao triângulo.

Duas figuras equivalentes ligadas por ⇔. À esquerda, triângulo ABC com AB = 13, AC = 20, altura AH = 12 interior, BH = −5, HC = 16, chave BC = 11 e ângulo θ em B (triângulo ABH sombreado). À direita, triângulo ABC com altura AH = 12 exterior, HB = 5, BC = 11, chave HC = 16, ângulo 180° − θ em B no triângulo ABH sombreado e ângulo θ externo em B.

Uma vez admitida a equivalência dessas figuras, do triângulo ABH na primeira figura podemos deduzir que:

\begin{cases} \sen(\theta) = \dfrac{12}{13} \\[2ex] \cos(\theta) = \dfrac{-5}{13} \end{cases}

E, do triângulo ABH na segunda figura, que:

\begin{cases} \sen(180^\circ - \theta) = \dfrac{12}{13} \\[2ex] \cos(180^\circ - \theta) = \dfrac{5}{13} \end{cases}

Assim, conseguimos uma interpretação para os senos e os cossenos dos ângulos externos não retos de um triângulo retângulo.

Relações entre senos e cossenos de ângulos suplementares

Dois ângulos são suplementares sempre que a soma de suas medidas resultar na medida do ângulo raso ( $180^\circ$ ). Quanto aos senos e cossenos desses ângulos, a interpretação analítica das medidas positivas e negativas dos segmentos de reta nos permite afirmar que:

Ângulos suplementares possuem o mesmo seno.
Ângulos suplementares têm cossenos opostos.

Assim, sendo $\alpha$ e $\beta$ as medidas, em graus, de dois ângulos geométricos, então:

\alpha + \beta = 180^\circ \Rightarrow \begin{cases} \sen(\alpha) = \sen(\beta) \\ \cos(\alpha) + \cos(\beta) = 0 \end{cases}

Reta horizontal cortada por uma semirreta inclinada formando dois ângulos adjacentes suplementares, α à esquerda e β à direita.

Em relação aos senos, a interpretação analítica nos permite concluir que:

$\sen(120^\circ) = \sen(60^\circ) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\sen(135^\circ) = \sen(45^\circ) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\sen(150^\circ) = \sen(30^\circ) = \dfrac{1}{2}$

Como $\cos(\alpha) + \cos(\beta) = 0 \Leftrightarrow \cos(\beta) = -\cos(\alpha)$ , essa interpretação, no que se refere aos cossenos, permite concluir que:

$\cos(120^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\dfrac{1}{2}$
$\cos(135^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos(150^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Particularmente no caso dos ângulos retos, essa relação implica:

\begin{align*} \cos(90^\circ) &= -\cos(90^\circ) \\ \cos(90^\circ) + \cos(90^\circ) &= 0 \\ 2\cos(90^\circ) &= 0 \\ \cos(90^\circ) &= 0 \end{align*}

Então, considerando a relação fundamental da trigonometria $\sen^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$ , é possível deduzirmos que $\sen^2(90^\circ) = 1$ , mas não podemos concluir, apenas com base nos argumentos expostos até aqui, que o seno do ângulo reto vale $+1$ ou $-1$ .

Por outro lado, é fato que, nos triângulos retângulos, o seno de um ângulo de medida $\alpha < 90^\circ$ depende do comprimento do seu cateto oposto no triângulo e do comprimento da hipotenusa, que é sempre o maior lado.

Além disso, quanto maior for o valor de $\alpha$ , maior também será o comprimento do seu cateto oposto e menor a diferença do comprimento do cateto e da hipotenusa do triângulo.

Em triângulos retângulos com ângulos agudos muito próximos de $90^\circ$ , a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa fica bem próxima de 1. Assim, não há motivo aparente para desconfiarmos de que o seno do ângulo reto possa ser negativo como os cossenos dos ângulos obtusos.

Dessa forma, a tabela com os senos e cossenos dos ângulos notáveis pode ser ampliada incorporando os valores para o ângulo reto e alguns obtusos:

	$\sen$	$\cos$
$30^\circ$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$45^\circ$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$60^\circ$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$
$90^\circ$	$1$	$0$
$120^\circ$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$-\dfrac{1}{2}$
$135^\circ$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$150^\circ$	$\dfrac{1}{2}$	$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Relações trigonométricas em triângulos quaisquer

Estender os conceitos estabelecidos pelas razões trigonométricas para além dos triângulos retângulos de forma satisfatória não seria possível sem que fossem incorporadas as interpretações dos senos e cossenos dos ângulos obtusos. Caso contrário, os triângulos obtusângulos ficariam de fora da extensão.

Conhecidos como leis dos senos e dos cossenos, os teoremas demonstrados a seguir compõem as mais eficientes regras de aplicação das razões trigonométricas em triângulos de qualquer tipo.

Teorema dos senos

Os lados de um triângulo são diretamente proporcionais aos senos dos seus ângulos opostos, e a constante dessa proporcionalidade equivale ao dobro do raio da circunferência circunscrita do triângulo.

Triângulo ABC (azul) inscrito em uma circunferência vermelha de raio r, com ângulos α em A, β em B e γ em C e lados c = AB, b = AC e a = BC; o raio r é traçado do centro até B.

Demonstração

Os argumentos que se sucedem nesta demonstração são os mesmos para qualquer que seja o lado do triângulo tomado para determinarmos a razão entre o comprimento de um lado e de seu ângulo oposto no triângulo. Assim, vamos considerar o lado $\overline{BC}$ de comprimento $a$ e traçar, pela extremidade C, uma perpendicular ao lado, obtendo o ponto A' na circunferência circunscrita.

Então, do teorema do ângulo inscrito na circunferência, temos que o arco $\overset{\frown}{A'B}$ da circunferência oposto ao ângulo reto $B\hat{C}A'$ deve medir $2 \cdot 90^\circ = 180^\circ$ . Assim, o segmento $\overline{A'B}$ deve passar pelo centro da circunferência, pois divide a circunferência em dois arcos de $180^\circ$ .

Novamente, do teorema do ângulo inscrito, por pertencerem a um mesmo arco capaz, os ângulos $B\hat{A}C$ e $B\hat{A}'C$ têm a mesma medida $\alpha$ . Desse modo, no triângulo A'BC, encontramos:

\sen(\alpha) = \frac{BC}{BA'} = \frac{a}{2r} \Rightarrow 2r \cdot \sen(\alpha) = a \Rightarrow 2r = \frac{a}{\sen(\alpha)}

A aplicação do teorema dos senos pode se tornar mais eficiente observando a possibilidade do uso dos senos tanto dos ângulos internos quanto dos externos nas proporções enunciadas, pois, sendo $\alpha$ , $\beta$ e $\gamma$ as medidas dos ângulos internos de um triângulo, então seus ângulos externos medem $\alpha + \beta$ , $\alpha + \gamma$ e $\beta + \gamma$ , com:

\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \Leftrightarrow \begin{cases} \alpha + \beta = 180^\circ - \gamma \\ \alpha + \gamma = 180^\circ - \beta \\ \beta + \gamma = 180^\circ - \alpha \end{cases}

Triângulo com ângulos internos α, β e γ e seus ângulos externos destacados: β + γ ao lado de α, α + γ ao lado de β e α + β ao lado de γ, obtidos pelo prolongamento dos lados.

Portanto, como ângulos suplementares têm os mesmos senos, obtemos:

$\sen(\alpha + \beta) = \sen(\gamma)$
$\sen(\alpha + \gamma) = \sen(\beta)$
$\sen(\beta + \gamma) = \sen(\alpha)$

Exercício resolvido 4

Determine a medida do lado oposto ao ângulo de $120^\circ$ de um triângulo inscrito em uma circunferência com $5\sqrt{3}$ cm de raio, como mostra a figura a seguir.

Circunferência de centro O e raio OB = 5√3 cm com o triângulo ABC inscrito; o ângulo em C mede 120° e o lado AB é oposto a ele.

Exercício resolvido 5

Os ângulos internos da base do triângulo ABC medem $75^\circ$ e $60^\circ$ . Determine o comprimento aproximado do lado oposto ao ângulo de $60^\circ$ sabendo que a base desse triângulo mede 28 cm.

Use $\sqrt{2} = 1{,}4$ e $\sqrt{3} = 1{,}7$ .

Resolução

Sendo $\alpha$ a medida do terceiro ângulo desse triângulo, temos: $\alpha + 60^\circ + 75^\circ = 180^\circ \Rightarrow \alpha = 45^\circ$ . Portanto, o triângulo é acutângulo, e uma figura de acordo com o enunciado é:

Como, de acordo com o teorema dos senos, os lados e senos de ângulos opostos são proporcionais, sendo $x$ a medida, em centímetros, do lado oposto ao ângulo de $60^\circ$ , obtemos:

\begin{align*} \frac{28 \text{ cm}}{\sen(45^\circ)} &= \frac{x \text{ cm}}{\sen(60^\circ)} \\ x \cdot \sen(45^\circ) &= 28 \cdot \sen(60^\circ) \\ x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} &= 28 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\ x &= 28 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \end{align*}

Aproximando as raízes, temos $x = \dfrac{28 \cdot 1{,}7}{1{,}4} = 34$ cm.

Exercício resolvido 6

Em um triângulo ABC, o seno do ângulo interno do vértice A é igual a $\dfrac{1}{4}$ . Se os lados $\overline{AC}$ e $\overline{BC}$ medem, respectivamente, 52 cm e 26 cm, determine a medida do ângulo interno do vértice B.

Resolução

Sendo $\alpha$ e $\beta$ as medidas dos ângulos internos de vértices A e B do triângulo ABC, uma figura de acordo com o enunciado é:

Pelo teorema dos senos, temos:

\frac{26 \text{ cm}}{\sen(\alpha)} = \frac{52 \text{ cm}}{\sen(\beta)} \Rightarrow 26 \cdot \sen(\beta) = 52 \cdot \sen(\alpha)

Então, como, de acordo com o enunciado, $\sen(\alpha) = \dfrac{1}{4}$ , temos:

26 \cdot \sen(\beta) = 52 \cdot \frac{1}{4} \Rightarrow 26 \cdot \sen(\beta) = 13 \Rightarrow \sen(\beta) = \frac{13}{26} = \frac{1}{2}

Como não há informações suficientes para saber se esse triângulo é acutângulo ou obtusângulo, devemos entender que o problema admite duas respostas possíveis: $\beta = 30^\circ$ ou $\beta = 150^\circ$ .

Exercício resolvido 7

UFG-GO Observe a figura a seguir, em que estão indicadas as medidas dos lados do triângulo maior e alguns dos ângulos.

Triângulo retângulo maior com hipotenusa 10, cateto horizontal 6 e cateto vertical 8 (indicado por chave); um segmento interno parte do vértice esquerdo formando ângulo de 30° com a base e ângulo α com a hipotenusa.

O seno do ângulo indicado por $\alpha$ na figura vale:

$\dfrac{4\sqrt{3} - 3}{10}$
$\dfrac{4 - \sqrt{3}}{10}$
$\dfrac{4 - 3\sqrt{3}}{10}$
$\dfrac{4 + 3\sqrt{3}}{10}$
$\dfrac{4\sqrt{3} + 3}{10}$

Resolução

A figura apresenta três triângulos. Dois deles são retângulos, e o outro é, provavelmente, escaleno.

Sendo $x$ o cateto oposto ao ângulo de $30^\circ$ do triângulo retângulo menor, temos:

\operatorname{tg}(30^\circ) = \frac{x}{6} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{x}{6} \Rightarrow 3x = 6\sqrt{3} \Rightarrow x = 2\sqrt{3}

Com base nesse resultado, concluímos que o lado vertical do triângulo escaleno mede $8 - 2\sqrt{3}$ .

Então, considerando o ângulo externo de $60^\circ$ do triângulo escaleno, obtemos, de acordo com o teorema dos senos:

\begin{align*} \frac{8 - 2\sqrt{3}}{\sen(\alpha)} &= \frac{10}{\sen(120^\circ)} \\ 10 \cdot \sen(\alpha) &= \left(8 - 2\sqrt{3}\right) \cdot \sen(60^\circ) \\ 10 \cdot \sen(\alpha) &= \left(8 - 2\sqrt{3}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 10 \cdot \sen(\alpha) &= 4\sqrt{3} - 3 \\ \sen(\alpha) &= \frac{4\sqrt{3} - 3}{10} \end{align*}

Resposta: alternativa A.

Teorema dos cossenos

Em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados equivale à soma dos quadrados dos outros dois menos o dobro do produto entre esses dois lados e o cosseno do ângulo que eles formam.

Triângulo ABC com ângulo α em A, lados c = AB, a = BC e b = AC; ao lado, a fórmula a² = b² + c² − 2·b·c·cos(α).

Demonstração

Traçando pelo ponto B uma reta perpendicular ao lado $\overline{AC}$ , obtemos a altura $\overline{BH}$ e os triângulos retângulos AHB e CHB.

Sendo $h = BH$ , $x = AH$ e $y = CH$ , há quatro equações que relacionam as medidas indicadas na figura:

na base $\overline{AC}$ do $\triangle ABC$ :
$x + y = b \quad \text{(equação I);}$
do teorema de Pitágoras no $\triangle CHB$ :
$a^2 = y^2 + h^2 \quad \text{(equação II);}$
do teorema de Pitágoras no $\triangle AHB$ :
$c^2 = x^2 + h^2 \quad \text{(equação III);}$
uma razão trigonométrica no $\triangle AHB$ :
$\cos(\alpha) = \frac{x}{c} \quad \text{(equação IV).}$

Note que as relações expressas pelas quatro equações continuam verdadeiras quando $x \leq 0$ , aceitando a possibilidade de o ângulo $\alpha$ ser reto ou obtuso.

Isolando $y$ na equação I, temos:

y = b - x

Substituindo $y$ na equação II, encontramos:

a^2 = (b - x)^2 + h^2

Desenvolvendo o produto notável, obtemos:

a^2 = b^2 - 2 \cdot b \cdot x + x^2 + h^2

Reorganizando os termos do segundo membro, temos:

a^2 = b^2 + \underbrace{\left(x^2 + h^2\right)}_{c^2} - 2 \cdot b \cdot x

Substituindo a relação da equação III, encontramos:

a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot x \quad \text{(equação V)}

Isolando $x$ na equação IV, obtemos:

x = c \cdot \cos(\alpha)

Substituindo $x$ na equação V, temos:

a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos(\alpha)

Exercício resolvido 8

Determine o comprimento do lado $\overline{AB}$ oposto a um ângulo de $60^\circ$ em um triângulo ABC, com $AC = 2$ cm e $BC = 3$ cm.

Exercício resolvido 9

Na figura, os lados $\overline{AB}$ e $\overline{AC}$ formam um ângulo de $60^\circ$ .

Triângulo ABC com CB = x, BA = 3 e CA = x + 1.

Determine o valor de $x$ .

Exercício resolvido 10

Em um triângulo ABC, $AB = 3$ , $AC = \sqrt{5}$ e $\operatorname{med}(\hat{B}) = 45^\circ$ , determine a medida $\overline{BC}$ .

Resolução

Sendo $x$ a medida do lado $\overline{BC}$ , uma figura de acordo com o enunciado é:

Pelo teorema dos cossenos, temos:

\begin{align*} \left(\sqrt{5}\right)^2 &= 3^2 + x^2 - 2 \cdot 3 \cdot x \cdot \cos(45^\circ) \Rightarrow \\ \Rightarrow 5 &= 9 + x^2 - 6x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x^2 - 3\sqrt{2}x + 4 = 0 \\ \Delta &= \left(-3\sqrt{2}\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 18 - 16 = 2 \\ x &= \frac{-\left(-\sqrt{2}\right) \pm \sqrt{2}}{2 \cdot 1} = \frac{3\sqrt{2} \pm \sqrt{2}}{2} \begin{array}{l} \nearrow\; x_1 = 2\sqrt{2} \\ \searrow\; x_2 = \sqrt{2} \end{array} \end{align*}

Portanto, pela condição de existência de um triângulo, temos:

\sqrt{2} < x < 2\sqrt{2}

Diagonais do paralelogramo

Considere um paralelogramo de lados $a$ e $b$ e cujos ângulos agudos medem $\theta$ .

Paralelogramo com lados a (horizontais) e b (inclinados) e ângulos agudos θ em dois vértices opostos.

Observe que a diagonal menor do paralelogramo fica sempre oposta aos ângulos agudos.

Paralelogramo de lados a e b e ângulos agudos θ com a diagonal menor d traçada; o triângulo formado por a, b e d, oposto ao ângulo θ, está sombreado.

Assim, sendo $d$ a medida dessa diagonal menor, conforme o teorema dos cossenos no triângulo em destaque, temos:

d^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos(\theta)

Então, como $d > 0$ , uma expressão para a medida da diagonal menor de um paralelogramo é:

d = \sqrt{a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos(\theta)}

em que $a$ e $b$ são os lados do paralelogramo, e $\theta$ é a medida de seus ângulos agudos.

Note agora que a diagonal maior de um paralelogramo fica sempre oposta aos ângulos obtusos dele.

Paralelogramo de lados a e b e ângulos agudos θ com a diagonal maior d' traçada; o triângulo sombreado formado por a, b e d' tem ângulo obtuso 180° − θ.

Assim, sendo $d'$ a medida dessa diagonal maior, como a medida dos ângulos obtusos desse paralelogramo pode ser expressa por $(180^\circ - \theta)$ , obtemos, de acordo com o teorema dos cossenos no triângulo em destaque:

(d')^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos(180^\circ - \theta)

Então, como $d' > 0$ e $\cos(180^\circ - \theta) = -\cos(\theta)$ , uma expressão para a medida da diagonal maior de um paralelogramo é:

d' = \sqrt{a^2 + b^2 + 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos(\theta)}

Exercício resolvido 11

Determine as medidas das diagonais de um paralelogramo cujos lados medem 2 e $\sqrt{3}$ e cujos ângulos agudos medem $30^\circ$ .

Resolução

A diagonal menor desse paralelogramo mede:

\begin{align*} d &= \sqrt{2^2 + \left(\sqrt{3}\right)^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(30^\circ)} \\ d &= \sqrt{4 + 3 - 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} \\ d &= \sqrt{7 - 6} \\ d &= 1 \end{align*}

A diagonal maior desse paralelogramo mede:

\begin{align*} d' &= \sqrt{2^2 + \left(\sqrt{3}\right)^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(30^\circ)} \\ d' &= \sqrt{4 + 3 + 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} \\ d' &= \sqrt{7 + 6} \\ d' &= \sqrt{13} \end{align*}

Cevianas de triângulos

Todo segmento de reta que une o vértice de um triângulo a um ponto da reta que contém o lado oposto a esse vértice é denominado ceviana do triângulo.

Em um triângulo ABC, as cevianas com uma extremidade no vértice A, por exemplo, têm a outra extremidade em algum ponto da reta suporte do lado $\overline{BC}$ .

Triângulo ABC (sombreado) com vértice A e reta r contendo BC; segmentos vermelhos de A até os pontos P1, P2, B, P3, P4, P5, C, P6 e P7 sobre a reta r representam cevianas relativas ao vértice A.

Na figura, todos os segmentos $\overline{AP_n}$ são cevianas relativas ao vértice A do triângulo.

Da mesma forma, existem as cevianas do vértice B, que têm uma extremidade em B e a outra na reta $\overleftrightarrow{AC}$ , e também as cevianas do vértice C, que têm uma extremidade em C e a outra na reta $\overleftrightarrow{AB}$ .

Entre as cevianas mais importantes de um triângulo estão os próprios lados do triângulo, suas alturas, suas bissetrizes internas e externas e suas medianas.

Cada ceviana dessas possui uma propriedade particular. Sem os lados, não há triângulo; as alturas são úteis no cálculo da área do triângulo; as bissetrizes internas e externas têm seus teoremas específicos; e as medianas apresentam a propriedade de dividir o triângulo em áreas iguais.

O teorema dos cossenos é uma ferramenta muito útil para encontrar o comprimento de uma ceviana. Acompanhe no exercício resolvido a seguir.

Exercício resolvido 12

Na figura, determine a medida $x$ da ceviana $\overline{AP}$ do triângulo ABC.

Triângulo ABC com AB = 2, AC = 5, ponto P sobre BC com BP = 1 e PC = 3, e ceviana AP = x.

Resolução

Sendo $\theta$ a medida do ângulo interno de vértice B, como $BC = 1 + 3 = 4$ , de acordo com o teorema dos cossenos, no $\triangle ABC$ temos:

\begin{align*} 5^2 &= 2^2 + 4^2 - 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \cos(\theta) \\ 25 &= 4 + 16 - 16 \cdot \cos(\theta) \\ \cos(\theta) &= -\frac{5}{16} \end{align*}

Com esse resultado, pelo teorema dos cossenos no $\triangle ABP$ , encontramos:

\begin{align*} x^2 &= 1^2 + 2^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot \cos(\theta) \\ x^2 &= 1 + 4 - 4 \cdot \left(-\frac{5}{16}\right) \\ x &= \frac{5}{2} \end{align*}

Teorema das cevianas

Em um triângulo, quando três cevianas se intersectam no mesmo ponto, elas dividem os lados do triângulo em razões cujo produto é unitário.

Triângulo ABC com cevianas CP, AQ e BR (roxas) concorrentes em um ponto interior; P sobre AB, Q sobre BC e R sobre AC; ao lado, a fórmula (AP/PB)·(BQ/QC)·(CR/RA) = 1.

Esse teorema foi provado, em 1678, pelo geômetra e engenheiro italiano Giovanni Ceva (1646-1734) – daí o termo “ceviana”, criado em homenagem a ele. Por isso, o teorema também é conhecido como teorema de Ceva.

Demonstração

Consideremos que, se dois triângulos têm a mesma altura, então suas áreas são diretamente proporcionais aos comprimentos de suas bases.

Sendo S o ponto de interseção das cevianas e indicando entre colchetes as áreas dos triângulos, da figura, podemos extrair as seguintes proporções:

$\dfrac{AP}{PB} = \dfrac{[APC]}{[BPC]} = \dfrac{[APS]}{[BPS]} = \dfrac{[APC] - [APS]}{[BPC] - [BPS]} = \dfrac{[ASC]}{[BSC]}$
$\dfrac{BQ}{QC} = \dfrac{[BQA]}{[CQA]} = \dfrac{[BQS]}{[CQS]} = \dfrac{[BQA] - [BQS]}{[CQA] - [CQS]} = \dfrac{[ASB]}{[ASC]}$
$\dfrac{CR}{RA} = \dfrac{[CRB]}{[ARB]} = \dfrac{[CRS]}{[ARS]} = \dfrac{[CRB] - [CRS]}{[ARB] - [ARS]} = \dfrac{[BSC]}{[ASB]}$

Multiplicando essas razões, obtemos:

\begin{align*} \frac{AP}{PB} \cdot \frac{BQ}{QC} \cdot \frac{CR}{RA} &= \frac{[ASC]}{[BSC]} \cdot \frac{[ASB]}{[ASC]} \cdot \frac{[BSC]}{[ASB]} \\ \frac{AP}{PB} \cdot \frac{BQ}{QC} \cdot \frac{CR}{RA} &= 1 \end{align*}

Exercício resolvido 13

Em um triângulo ABC, de base $AB = 6$ , M é o ponto médio do lado $\overline{AC}$ e o ponto D divide o lado $\overline{BC}$ de modo que $CD = 3 \cdot BD$ . Além disso, os segmentos $\overline{AD}$ e $\overline{BM}$ se intersectam no ponto F, e a reta $\overleftrightarrow{CF}$ intersecta o lado $\overline{AB}$ no ponto E.

Determine o comprimento do segmento $\overline{AE}$ .

Resolução

Sendo $AM = a$ , como M é ponto médio de AC, então $CM = AM = a$ . Se $BD = b$ , logo $CD = 3 \cdot BD = 3b$ . E, sendo $AE = x$ , temos $EB = 6 - x$ . Uma figura de acordo com o enunciado pode ser:

Pelo teorema das cevianas, obtemos:

\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CM}{MA} = 1 \Rightarrow \frac{x}{6 - x} \cdot \frac{b}{3b} \cdot \frac{a}{a} = 1

Simplificando as frações expressas por $a$ e $b$ :

\begin{align*} \frac{x}{6 - x} \cdot \frac{1}{3} = 1 \Rightarrow \frac{x}{3(6 - x)} = 1 \Rightarrow x = 3(6 - x) \Rightarrow \\ \Rightarrow x = 18 - 3x \Rightarrow 4x = 18 \Rightarrow x = \frac{9}{2} \end{align*}

Portanto, $AE = \dfrac{9}{2} = 4{,}5$ .

Teorema de Menelaus

Se três retas determinam um triângulo ABC e uma quarta reta intersecta as retas $\overleftrightarrow{AB}$ , $\overleftrightarrow{BC}$ e $\overleftrightarrow{AC}$ , respectivamente, nos pontos D, E e F, então $\dfrac{AD}{BD} \cdot \dfrac{BE}{CE} \cdot \dfrac{CF}{AF} = 1$

Triângulo ABC formado por três retas e uma quarta reta tracejada que intersecta AB em D, AC em F e o prolongamento de BC em E.

Esse teorema foi demonstrado pelo geômetra e astrônomo Menelaus de Alexandria por volta do século II d.C.

Demonstração

Traçando pelo ponto B uma paralela à reta $\overleftrightarrow{DE}$ , obtemos o ponto P no prolongamento do lado $\overline{AC}$ do triângulo:

Aplicando o teorema de Tales nas transversais $\overleftrightarrow{AB}$ e $\overleftrightarrow{AP}$ , encontramos:

\frac{AD}{BD} = \frac{AF}{FP} \Rightarrow \frac{AD}{BD} \cdot \frac{FP}{AF} = 1

Aplicando o teorema de Tales nas transversais $\overleftrightarrow{FP}$ e $\overleftrightarrow{BE}$ , temos:

\frac{CF}{FP} = \frac{CE}{BE} \Rightarrow \frac{CF}{FP} \cdot \frac{BE}{CE} = 1

Multiplicando as equações obtidas, encontramos:

\frac{AD}{BD} \cdot \frac{FP}{AF} \cdot \frac{CF}{FP} \cdot \frac{BE}{CE} = 1 \cdot 1

Cancelando FP e reordenando as frações, obtemos:

\frac{AD}{BD} \cdot \frac{BE}{CE} \cdot \frac{CF}{AF} = 1

Exercício resolvido 14

Em um triângulo equilátero ABC de lados medindo 12 cm, P é um ponto do lado $\overline{AB}$ tal que $AP = 4$ cm e Q é um ponto do lado $\overline{AC}$ . Sabendo que o ponto R, de interseção das retas $\overleftrightarrow{PQ}$ e $\overleftrightarrow{BC}$ , é tal que $BR = 9$ cm, determine o comprimento do segmento $\overline{AQ}$ .

Resolução

Sendo $AQ = x$ , uma figura de acordo com o enunciado é:

Pelo teorema de Menelaus, temos:

\frac{AP}{BP} \cdot \frac{BR}{CR} \cdot \frac{CQ}{AQ} = 1 \Rightarrow \frac{4}{8} \cdot \frac{9}{(9 + 12)} \cdot \frac{(12 - x)}{x} = 1

Fazendo as simplificações possíveis, encontramos:

\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{7} \cdot \frac{(12 - x)}{x} = 1

Resolvendo a equação, obtemos:

\begin{align*} \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{7} \cdot \frac{(12 - x)}{x} = 1 \Rightarrow \frac{3(12 - x)}{14x} = 1 \Rightarrow \\ \Rightarrow 14x = 36 - 3x \Rightarrow 17x = 36 \Rightarrow x = \frac{36}{17} \end{align*}

Transcrição conferida com a obra original (Matemática I, Poliedro, p. 314-324). Revisada em 07/09/2026. Encontrou um erro? Reportar erro

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