Centros dos triângulos e polígonos

Os polígonos – termo que tem origem grega: póly (vários) + gonia (ângulos) – são figuras geométricas com vários ângulos.

Em placas de trânsito, estruturas de sustentação ou obras gigantescas de engenharia, por exemplo, uma montanha-russa ou uma torre de transmissão, vemos figuras que lembram polígonos. Eles estão presentes em quase tudo no dia a dia, e isso desde as civilizações mais antigas.

Neste capítulo, vamos estudar os pontos notáveis do triângulo e de alguns polígonos regulares, bem como sua importância. Vamos observar os centros, as propriedades e as simetrias dos polígonos.

Pontos notáveis do triângulo

O triângulo tem vários pontos notáveis ou centros, cada um com suas características e propriedades, alguns dos quais relacionados diretamente às cevianas (definidas no capítulo anterior).

Estudaremos a seguir o baricentro (associado às medianas), o incentro (associado às bissetrizes), o circuncentro (associado às mediatrizes) e o ortocentro (associado às alturas).

O baricentro e as medianas

Mediana

Mediana é a ceviana com extremos em um vértice e no ponto médio do lado oposto a esse vértice. Observe a seguir as três medianas de um triângulo.

Observe, por exemplo, como calcular a medida da mediana $m_a$ no triângulo ABC, em que temos $AB = 8$ cm, $BC = 10$ cm e ângulo $\hat{B}$ de medida $60^\circ$.

Como $BM_a = \dfrac{BC}{2} = 5$ cm, pela lei dos cossenos aplicada ao triângulo $ABM_a$, temos, em cm:

Baricentro

Vamos demonstrar o seguinte resultado: as três medianas de um triângulo se intersectam em um mesmo ponto, chamado de baricentro, que divide cada uma das medianas na proporção de 2 para 1; a parte que vai do vértice ao baricentro é o dobro da parte que vai do baricentro ao ponto médio.

Na figura a seguir, M, N e P são pontos médios dos lados do triângulo, e G é o baricentro.

Observação: Temos que PNED é um paralelogramo.

Exercício resolvido 1

Na figura, N e P são os pontos médios dos lados $\overline{AC}$ e $\overline{BC}$, respectivamente. Se G é o baricentro do triângulo ABC, $AP = 6$ cm e $GN = 1{,}5$ cm, obtenha, em centímetros:

1. AG.
2. GP.
3. BG.
4. BN.

O incentro e as bissetrizes

Bissetriz

Bissetriz é a semirreta que divide um ângulo em dois de mesma medida (ao meio).

Na figura anterior, $\operatorname{med}(M\hat{O}P) = \operatorname{med}(N\hat{O}P)$, $\operatorname{med}(O\hat{M}P) = \operatorname{med}(O\hat{N}P) = 90^\circ$ e $\overline{OP}$ é comum aos triângulos OMP e ONP. Assim, esses dois triângulos são congruentes pelo caso $\mathrm{LAA_o}$. Desse modo, $PN = PM$ e P equidista dos lados do ângulo. O que acabamos de demonstrar é que qualquer ponto da bissetriz equidista dos lados do ângulo.

Incentro

Incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo, ou seja, aquela que tangencia os três lados do triângulo.

Provaremos que as bissetrizes dos ângulos internos se intersectam no incentro.

Tangência

Dados uma circunferência $\lambda$ e um ponto P externo a ela, vamos provar que o par de segmentos tangentes a $\lambda$ e que passam por P tem a mesma medida.

Na figura a seguir, os triângulos $PT_1O$ e $PT_2O$ são congruentes pelo caso especial HC, pois apresentam a mesma hipotenusa $\overline{OP}$; e as medidas dos catetos $\overline{OT_1}$ e $\overline{OT_2}$ são iguais ao raio da circunferência de centro O. Assim, o par de tangentes $\overline{PT_1}$ e $\overline{PT_2}$ possui a mesma medida.

Vamos estudar uma aplicação dessa ideia simples de tangência. Na figura seguinte, temos um triângulo de lados $a$, $b$ e $c$ e perímetro $2p = a + b + c$ e também uma circunferência inscrita nesse triângulo.

Identificamos na figura a seguir os pares de segmentos de mesma medida tangentes à circunferência inscrita, com medidas $x$, $y$ e $z$.

Comparando as duas figuras, concluímos que:

Somando as equações, temos:

Assim:

Concluímos, então, que o par de segmentos tangentes à circunferência inscrita que parte de um vértice é igual à diferença entre o semiperímetro do triângulo e o lado oposto a esse vértice.

Exercício resolvido 2

Observe a figura (sem escala) a seguir e determine:

1. o valor de $x$;
2. a medida do segmento $\overline{AR}$, sabendo que o perímetro do triângulo ABC é 92 cm.

Outra aplicação das ideias de tangência aparece no cálculo do raio da circunferência inscrita em um triângulo retângulo. Veja, na figura a seguir, esse cálculo aplicado ao triângulo retângulo de hipotenusa $a$ e catetos $b$ e $c$.

Com base na figura, temos:

Raio da circunferência inscrita

É possível calcularmos o raio da circunferência inscrita para um triângulo qualquer da seguinte maneira:

A área do triângulo ABC é a soma das áreas dos três triângulos da figura (azul, rosa e verde).

Indicando a área do triângulo ABC por $[ABC]$ e o semiperímetro por $p$, obtemos:

Portanto, o raio da circunferência inscrita é a razão entre a área e o semiperímetro do triângulo.

O circuncentro e as mediatrizes

Mediatriz

Mediatriz de um segmento é a reta que passa pelo ponto médio desse segmento e é perpendicular a ele.

A mediatriz de um segmento $\overline{AB}$ é o lugar geométrico dos pontos do plano que equidistam dos extremos A e B.

Para demonstrar essa afirmação, marque um ponto X qualquer sobre a mediatriz de $\overline{AB}$, o qual coincide ou não com o ponto médio M.

1. Se o ponto X coincide com M, então $X = M$. Logo, $AM = MB$.
2. Se o ponto X não coincide com M, trace $\overline{AX}$ e $\overline{BX}$. Os triângulos AMX e BMX são congruentes pelo caso LAL.

Com base nessa congruência, podemos concluir que $AX = BX$, isto é, todo ponto da mediatriz de $\overline{AB}$ equidista dos extremos A e B.

Circuncentro

As três mediatrizes dos lados de um triângulo se intersectam em um ponto chamado circuncentro, que é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.

O circuncentro pode ser:

• interno, se o triângulo for acutângulo;

  

• externo, se o triângulo for obtusângulo;

  

• no ponto médio da hipotenusa, se o triângulo for retângulo.

  

O ponto médio da hipotenusa é, portanto, equidistante dos vértices e também o centro da circunferência circunscrita (circuncentro).

O ortocentro e as alturas

Altura

Considerando um vértice do triângulo, o segmento que tem uma extremidade nesse vértice e a outra na reta suporte do lado oposto, de maneira a ser perpendicular a esse lado, é chamado de altura. Nas figuras a seguir, observamos que a altura pode ser interna ou externa ao triângulo, conforme este seja, respectivamente, acutângulo ou obtusângulo.

Ortocentro

As retas suporte das alturas de um triângulo se intersectam em um único ponto, denominado ortocentro.

Quanto à posição, o ortocentro pode ser:

• interno, se o triângulo for acutângulo;

  

• externo, se o triângulo for obtusângulo;

  

• coincidente com o vértice do ângulo reto, se o triângulo for retângulo.

  

Triângulo órtico

Considere um triângulo não retângulo ABC e sejam D, E e F os pés das alturas de ABC. O triângulo DEF é chamado triângulo órtico do triângulo ABC.

O ortocentro H do triângulo ABC é o incentro de seu triângulo órtico DEF.

Casos particulares

O triângulo equilátero

Considere o triângulo equilátero ABC da figura a seguir.

Seja P o ponto médio de $\overline{AC}$. Os triângulos APB e CPB são congruentes pelo caso LLL. Por isso, temos $\operatorname{med}(A\hat{P}B) = \operatorname{med}(C\hat{P}B) = 90^\circ$. Logo, $\overline{BP}$ é, ao mesmo tempo, mediana, altura, mediatriz e bissetriz interna. De maneira análoga, se Q e R são pontos médios de $\overline{AB}$ e $\overline{BC}$, respectivamente, então $\overline{AR}$ e $\overline{CQ}$ também são, simultaneamente, alturas, medianas, mediatrizes e bissetrizes internas. Assim, o ponto O é, ao mesmo tempo, ortocentro, baricentro, circuncentro e incentro do triângulo, sendo seu centro de simetria.

Lembrando que a altura $h$ de um triângulo equilátero de lado L é $\dfrac{L\sqrt{3}}{2}$ e que o baricentro divide a mediana na proporção de $2 : 1$, podemos calcular os raios das circunferências circunscrita e inscrita (respectivamente, R e $r$), aproveitando o fato de que os centros do triângulo equilátero coincidem. Assim:

O triângulo isósceles

Na figura a seguir, o triângulo PQR é isósceles e $PR = PQ$. O segmento $\overline{PN}$ é mediana, altura, mediatriz e bissetriz relativas à base $\overline{QR}$. Em relação ao lado $\overline{PR}$, $\overline{QH}$ é altura, $\overline{QS}$ é bissetriz, $\overline{QM}$ é mediana e $\overline{MC}$ é mediatriz. Observamos que o ortocentro (O), o incentro (I), o baricentro (B) e o circuncentro (C) estão alinhados sobre a altura $\overline{PN}$.

O triângulo retângulo

No triângulo retângulo, o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa e o ortocentro coincide com o vértice do ângulo reto.

Pontos notáveis de polígonos regulares

Um polígono regular é equilátero e equiângulo. Mostraremos que:

• todo polígono regular é inscritível (há uma circunferência que passa pelos seus vértices);

  

• todo polígono regular é circunscritível (há uma circunferência que tangencia seus lados).

  

Na figura a seguir, desenhamos um hexágono regular. No entanto, o argumento que utilizaremos é válido para todo polígono regular.

Como $\overline{OB}$ é lado comum, $AB = BC$ e $\operatorname{med}(O\hat{B}A) = \operatorname{med}(O\hat{B}C)$, os triângulos OAB e OBC são congruentes pelo caso LAL de congruência de triângulos. Como consequência, temos que $OC = OA$ e $\operatorname{med}(O\hat{C}B) = \operatorname{med}(O\hat{B}A)$. Tendo em vista que os ângulos do polígono regular são congruentes, então $\operatorname{med}(O\hat{C}D) = \operatorname{med}(O\hat{C}B)$.

Pelo caso LAL de congruência de triângulos, decorre que os triângulos OBC e OCD são congruentes. Prosseguindo indutivamente com o mesmo argumento anterior, concluímos que os triângulos OAB, OBC, OCD, ODE, OEF e OFA são congruentes entre si e isósceles.

O ponto O equidista dos vértices do polígono. Portanto, é centro da circunferência circunscrita ao polígono. Como os triângulos isósceles da figura são todos congruentes, suas alturas têm mesma medida e O é equidistante dos lados do polígono, sendo, então, centro da circunferência inscrita no polígono.

Elementos do polígono regular

Conforme a figura a seguir, os ângulos principais no polígono regular são o central ($\alpha$), o interno ($\beta$) e o externo ($\gamma$).

Vimos anteriormente que os ângulos central e externo de um polígono regular de $n$ lados são dados por $\left(\dfrac{360^\circ}{n}\right)$ e o ângulo interno por $\left(180^\circ - \dfrac{360^\circ}{n}\right)$.

Consideremos, ainda, como elementos do polígono regular o raio da circunferência circunscrita e o da circunferência inscrita, chamado de apótema do polígono regular.

O raio da circunferência circunscrita (R), o apótema ($a$) e a metade do lado de um polígono regular de lados L formam um triângulo retângulo, conforme a figura a seguir.

Assim, temos: $R^2 = a^2 + \left(\dfrac{L}{2}\right)^2$.

Área do polígono regular

Podemos calcular a área do polígono regular de duas maneiras principais:

1. Em função do perímetro e do apótema.

   

   Conforme sugerido na figura, podemos determinar a área de um polígono regular de $n$ lados L, perímetro $2p = n \cdot L$ e apótema $a$, calculando a área dos $n$ triângulos que compõem o polígono. Assim:

   $$\text{Área} = n \cdot A = n \cdot \frac{L \cdot a}{2} = \frac{2p \cdot a}{2} = p \cdot a$$

   Ou seja, a área é igual ao produto do semiperímetro pelo apótema.

2. Em função do raio (R) da circunferência circunscrita e do ângulo central ($\alpha$).

   A área de cada um dos $n$ triângulos congruentes em que fica subdividido o polígono a partir do centro é dada por:

   $$A_\triangle = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R \cdot \sen(\alpha) = \frac{R^2 \cdot \sen(\alpha)}{2}$$

   Logo, a área do polígono é igual a $n \cdot \dfrac{R^2 \cdot \sen(\alpha)}{2}$.

Estudo do triângulo equilátero

Seja um triângulo equilátero de lados L, inscrito em uma circunferência de raio R e circunscrito a outra circunferência de raio $r$ (lembrando que esse raio corresponde ao apótema).

Altura: $h = \dfrac{L\sqrt{3}}{2}$

Apótema: $a = r = \dfrac{1}{3}h = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{L\sqrt{3}}{2} = \dfrac{L\sqrt{3}}{6}$

Raio da circunferência circunscrita:

Estudo do quadrado

Seja um quadrado de lado L. Suas diagonais são perpendiculares entre si e os triângulos OBC e OBM da figura a seguir são retângulos e isósceles.

Apótema: $a = \dfrac{L}{2}$

Raio da circunferência circunscrita: $R = \dfrac{L\sqrt{2}}{2}$

Estudo do hexágono regular

Seja um hexágono regular de lado L, com apótema $a$ inscrito em uma circunferência de raio R. Sabemos que os ângulos central e externo do hexágono regular são iguais a $\dfrac{360^\circ}{6} = 60^\circ$ e que o ângulo interno é dado por $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

O hexágono regular fica subdividido em seis triângulos equiláteros, como mostra a figura. Seu apótema corresponde à altura de um triângulo equilátero de lado L. Assim:

Apótema: $a = \dfrac{L\sqrt{3}}{2}$

Raio da circunferência circunscrita: $R = L$

A área do hexágono regular é igual à área de seis triângulos equiláteros de lado L, ou seja, $6 \cdot \dfrac{L^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{3L^2\sqrt{3}}{2}$. Como para o hexágono $R = L$, a área em função do raio da circunferência circunscrita é igual a $\dfrac{3R^2\sqrt{3}}{2}$.

Estudo do octógono

Os ângulos externo e central do octógono regular medem $\dfrac{360^\circ}{8} = 45^\circ$, e o ângulo interno mede $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Desse modo, temos:

A área do octógono em função do lado é:

Então, a área do octógono em função do raio R da circunferência circunscrita será:

Estudo do decágono

Na figura a seguir, considere que $AB = AC = 1$ seja o lado do decágono regular inscrito em uma circunferência de raio R e centro O.

O triângulo ABC é isósceles de ângulos $72^\circ$, $72^\circ$ e $36^\circ$. O triângulo OAC tem ângulos $36^\circ$, $36^\circ$ e $108^\circ$ e também é isósceles. Assim, $OC = AC = 1$ e $BC = R - 1$. Como os triângulos OAB e ABC são semelhantes, temos:

Assim, a razão entre o raio R e o lado de qualquer decágono regular é igual a $\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$, que é a razão áurea.

Se tomarmos o ponto médio M da base do triângulo isósceles OAC, $\overline{CM}$ será uma altura. No triângulo retângulo ACM, temos $\cos(36^\circ) = \dfrac{AM}{AC} = \dfrac{\;\dfrac{R}{2}\;}{1} = \dfrac{R}{2} = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{4}$.

Como consequência desse resultado, encontramos:

• $\sen(36^\circ) = \sqrt{1 - \cos^2 36^\circ} = \sqrt{1 - \left(\dfrac{1 + \sqrt{5}}{4}\right)^2} = \dfrac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4}$
• $\operatorname{tg}(36^\circ) = \dfrac{\sen(36^\circ)}{\cos(36^\circ)} = \dfrac{\;\dfrac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4}\;}{\dfrac{1 + \sqrt{5}}{4}} = \sqrt{5 - 2\sqrt{5}}$
• $\sen(72^\circ) = 2 \cdot \sen(36^\circ) \cdot \cos(36^\circ) = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4} \cdot \dfrac{1 + \sqrt{5}}{4} = \dfrac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4}$

A área do decágono regular em função do raio R é:

Estudo do pentágono

Os ângulos externo e central de um pentágono regular medem $\dfrac{360^\circ}{5} = 72^\circ$, e o ângulo interno mede $180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$.

Na figura seguinte, o pentágono regular ABCDE tem lados 1 e diagonais $d$. O triângulo AED é isósceles de ângulos $108^\circ$, $36^\circ$ e $36^\circ$. Seja P o ponto de encontro das diagonais $\overline{AD}$ e $\overline{BE}$. O triângulo AEB é congruente ao triângulo AED e, portanto, $\operatorname{med}(A\hat{E}P) = \operatorname{med}(A\hat{E}B) = 36^\circ$.

No triângulo AEP, $\operatorname{med}(A\hat{E}P) = \operatorname{med}(E\hat{A}P) = 36^\circ$ e $\operatorname{med}(A\hat{P}E) = 108^\circ$. Como $A\hat{P}E$ é ângulo externo do triângulo EPD, temos:

Assim, $\operatorname{med}(D\hat{E}P) = 72^\circ$.

Ainda:

Logo, o triângulo DEP é isósceles, com $DP = DE = 1$.

Então, $AP = d - 1$.

Os triângulos AED e AEP são semelhantes (ambos têm ângulos $108^\circ$, $36^\circ$ e $36^\circ$). Logo:

Isso mostra que, para todo pentágono regular, a razão entre a diagonal e o lado é igual a $\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$, chamada de razão áurea.

Já na figura a seguir, temos:

A área do pentágono em função do lado é dada por:

Já a área do pentágono em função do raio R é dada por:

Quadriláteros inscritíveis

Um quadrilátero é chamado inscritível ou cíclico quando seus quatro vértices estão sobre uma mesma circunferência. Esse tipo de quadrilátero fornece ferramentas interessantes para a resolução de alguns problemas.

Discutiremos a seguir as condições para que um quadrilátero seja inscritível.

Teorema 1: Um quadrilátero convexo é inscritível se, e somente se, os ângulos internos opostos são suplementares.

Teorema 2: Um quadrilátero convexo é inscritível se, e somente se, os ângulos formados entre lado e diagonal e o lado oposto e a outra diagonal têm mesma medida. (Ângulos que enxergam o mesmo lado apresentam mesma medida.)

Exercício resolvido 4

Em um triângulo ABC, $\operatorname{med}(B\hat{A}C) = 100^\circ$ e $AB = AC$. Seja $\overline{BD}$ a bissetriz de $A\hat{B}C$, com D sobre o lado $\overline{AC}$. Prove que $AD + BD = BC$.

Quadriláteros circunscritíveis

Um quadrilátero é denominado circunscritível quando existe uma circunferência que tangencia seus quatro lados. Veremos a seguir as condições para que ele ocorra.

Teorema do quadrilátero circunscritível, ou teorema de Pitot: Um quadrilátero ABCD é circunscritível se, e somente se, as somas das medidas dos lados opostos forem iguais, ou seja: