Fuvest 2023 · Segunda fase · Questão 4 · Discursiva

Matemática · Tangência, Circunferências, Progressão geométrica

Considere as circunferências C,C1,C2,C3,...,Cn,...C,C_{1},C_{2},C_{3},...,C_{n},... e a reta s satisfazendo as seguintes propriedades:

• A circunferência C1C_{1} tem centro (0,0) e raio r=4r=4. Os centros das demais circunferências pertencem ao eixo OxOx.

• A circunferência C2C_{2} é tangente a C1C_{1} e a C3C_{3}, a circunferência C3C_{3} é tangente a C2C_{2} e a C4C_{4}, e assim por diante.

• A reta s é tangente a cada circunferência CnC_{n} para n≥1n\geq 1.

• O segmento que liga o centro de C1C_{1} ao ponto em que s tangencia C1C_{1} forma um ângulo de 60∘^\circ com o eixo OxOx.

• A circunferência C é tangente a C1C_{1} no ponto Q=(−4,0)Q = (-4,0) e passa pelo ponto P=(x0,0)P= (x_{0},0).

Com base nessas informações,

  1. determine o raio da circunferência C.
  2. dado n≥1n\geq 1, determine a razão entre os raios das circunferências consecutivas Cn+1C_{n+1} e CnC_{n}.
  3. determine a área da região sombreada na figura.

Questão discursiva: a fonte não traz resolução.

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